Cours 2 - Chapitre 2 du cours

Énergie interne et états accessibles

Manuel (Stowe, TSM) : chapitres 4, 5 et 6 (sections A à D) | Diapos « Cours 2 » (34 pages) | Diapos d’exercices du 10 septembre

Degrés de libertéÉquipartitionChaleur, travail, diffusion1^er principeNombre d’états ΩHeisenbergDensité d’états

Fil conducteur : l’énergie d’un système est répartie sur des degrés de liberté ; le nombre d’états accessibles \(\Omega\) dépend énormément de cette énergie (et du volume). Au cours 3, \(S = k\ln\Omega\) transformera ce comptage en entropie et température.

1. Énergie interne et degrés de liberté

1.1 Les formes d’énergie d’une particule

On distingue quatre types d’énergie pour une particule (ou un système) : potentielle, cinétique (mouvement de l’élément), vibrationnelle (vibration interne) et rotationnelle. L’énergie \(\varepsilon\) de la particule est la somme de ces énergies.

Énergie potentielle près de l’équilibre

\[u(x) = u(0) + \frac{x^2}{2}\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\Big|_{x=0} = u_0 + \tfrac12\kappa x^2\]

Au voisinage d’un point d’équilibre (minimum local), la dérivée première est nulle : le développement de Taylor donne un terme constant \(u_0\) (niveau de référence, négatif pour des particules liées) plus un terme quadratique - un oscillateur harmonique de constante de rappel \(\kappa\).

Énergie cinétique et énergie de rotation

\[\varepsilon_c = \frac{1}{2}\frac{p^2}{m} = \frac{p_x^2}{2m}+\frac{p_y^2}{2m}+\frac{p_z^2}{2m}\qquad\qquad \varepsilon_{r,i} = \frac{1}{2}\frac{L_i^2}{I_i}\]

\(p\) : quantité de mouvement, \(m\) : masse ; \(L_i\) : moment cinétique (angulaire) autour de l’axe \(i\), \(I_i\) : moment d’inertie autour de cet axe.

1.2 Degrés de liberté

Point important

Toutes ces énergies s’écrivent sous la forme \(\alpha + \beta\xi^2\), où \(\alpha,\beta\) sont des constantes et \(\xi\) une coordonnée de l’élément (\(x\), \(p_x\), \(L_y\)...). Chaque terme \(\beta\xi^2\) décrit une façon de stocker de l’énergie : c’est un degré de liberté (ddl) de la particule.

Forme générale de l’énergie et énergie thermique

\[\varepsilon = u_0 + \sum_{\text{degrés de liberté}}\beta\xi^2\qquad\qquad \varepsilon_{therm} = \sum_{\text{degrés de liberté}}\beta\xi^2\]

L’énergie thermique est l’énergie mesurée par rapport au niveau de référence \(u_0\).

Équipartition de l’énergie (démontrée au cours 3)

\[\overline{\varepsilon_{\text{par ddl}}} = \tfrac12 kT\qquad\quad \varepsilon_{therm} = \frac{\nu}{2}kT\qquad\quad E_{therm} = \frac{N\nu}{2}kT\qquad\quad E = N u_0 + \frac{N\nu}{2}kT\]

\(k = 1{,}381\times10^{-23}\) J/K (constante de Boltzmann), \(T\) en kelvins, \(\nu\) : nombre de ddl par particule, \(N\) : nombre de particules. L’énergie thermique est équirépartie sur chaque degré de liberté. Pour la plupart des solides et des gaz \(u_0\) ne varie pas : mesurer \(\Delta T\) pour un \(\Delta E\) donné permet de compter \(\nu\) (c’est l’idée de la capacité thermique, TD1).

1.3 Gaz monoatomique, gaz diatomique, solide

Système	Degrés de liberté	\(\nu\)	Énergie d’une particule
Gaz monoatomique (He, Ar...)	3 translations ; particules isolées, pas d’interaction, \(u = 0\)	3	\(\varepsilon = \dfrac{p_x^2}{2m}+\dfrac{p_y^2}{2m}+\dfrac{p_z^2}{2m}\)
Gaz diatomique (N₂, O₂...)	3 translations + 2 rotations (axes \(y\) et \(z\), perpendiculaires à la liaison)	5	\(\varepsilon = \dfrac{p_x^2}{2m}+\dfrac{p_y^2}{2m}+\dfrac{p_z^2}{2m}+\dfrac{L_y^2}{2I_y}+\dfrac{L_z^2}{2I_z}\)
Solide	3 ddl d’énergie potentielle (force de rappel vers les voisins, \(\kappa\)) + 3 ddl cinétiques	6	\(\varepsilon = \dfrac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m} + u_0 + \dfrac{\kappa_x x^2}{2}+\dfrac{\kappa_y y^2}{2}+\dfrac{\kappa_z z^2}{2}\)

Pourquoi pas plus de degrés de liberté ?

Les énergies sont quantifiées : un ddl n’est « actif » que si \(kT\) suffit à atteindre son premier état excité. Pour N₂, la rotation autour de l’axe de la liaison a un moment d’inertie minuscule (énergie d’excitation énorme) → inaccessible ; la vibration de la liaison demande \(\sim 10^3\) K → gelée à température ambiante. À très basse température seuls les 3 ddl de translation restent (\(\nu = 3\)), à très haute température la vibration s’ajoute (\(\nu = 7\) : énergie cinétique + potentielle de vibration). Exercices 8, 9, 13 et 16 du chapitre 4.

2. Interactions entre systèmes

Comment amener ou enlever de l’énergie à un système ? Par trois mécanismes : transfert de chaleur \(\Delta Q\) (interaction thermique), travail \(\Delta W\) (interaction mécanique) et échange de particules \(\Delta N\) (interaction diffusive).

2.1 Transfert de chaleur

Conduction : l’agitation thermique fait que les particules rapides (côté chaud) transfèrent leur énergie cinétique par collisions aux particules lentes (côté froid).
Radiation : une particule chargée qui oscille génère un champ électromagnétique capté par d’autres particules (aucun milieu nécessaire).
Convection : transport d’énergie par le déplacement macroscopique d’un fluide (panaches chauds qui montent).

2.2 Interaction mécanique : le travail

Comprimer un gaz augmente l’énergie cinétique de ses molécules (elles rebondissent sur un piston qui avance) ; une décompression la diminue.

Formes du travail

\[\Delta W = F\Delta x\qquad \Delta W = p\,\Delta V\qquad \Delta W = -\vec B\cdot\Delta\vec\mu\qquad \Delta W = -\vec E\cdot\Delta\vec p\]

Force \(F\) sur un déplacement \(\Delta x\) ; pression \(p\) et variation de volume \(\Delta V\) ; champ magnétique \(B\) et variation du moment magnétique \(\mu\) ; champ électrique \(E\) et variation du moment dipolaire électrique \(p\). Pour une pression variable : \(\Delta W = \int p\,dV\).

2.3 Échange de particules

Des particules diffusent du système le plus concentré vers le moins concentré, et modifient l’énergie des deux systèmes : \(\Delta E_1 = \mu_1\Delta N\), \(\Delta E_2 = -\mu_2\Delta N\), où \(\mu_1,\mu_2\) sont les potentiels chimiques des particules dans chaque système (énergie apportée par particule ajoutée).

2.4 Le premier principe de la thermodynamique

Premier principe

\[\Delta E = \Delta Q - \Delta W + \mu\,\Delta N\]

Conventions du cours : \(\Delta Q\) est la chaleur reçue par le système, \(\Delta N\) le nombre de particules reçues, mais \(\Delta W\) est le travail fourni par le système - d’où le signe moins. Lecture : la variation d’énergie = ce qui entre − ce qui sort.

Exemple : gaz sous un piston (diapo d’exercices, 10 septembre)

Un gaz scellé sous un piston de surface \(S\), parois isolantes, pression \(P\) constante. On abaisse le piston d’une distance \(\Delta x\). Bilan : transfert thermique ? non (isolé). Travail ? oui : le système reçoit \(PS\Delta x\), donc le travail fourni par le système est \(\Delta W = -PS\Delta x\). Transfert de particules ? non (système fermé). Donc \(\Delta E = -\Delta W = +PS\Delta x\) : le système gagne de l’énergie.

3. Notion d’états

3.1 États, énergie et densité d’états

On identifie souvent les états d’un système par leur énergie. Pour les grands systèmes, il existe un nombre énorme d’états de même énergie (ou presque) : on parle alors de densité d’états par unité d’énergie \(g(E)\).

\[\Omega(E,\Delta E) = g(E)\,\Delta E\]

\(\Omega(E,\Delta E)\) : nombre d’états dont l’énergie est comprise entre \(E\) et \(E+\Delta E\).

3.2 Particules distinctes ou identiques

Nombre d’états d’un système de \(N\) particules

\[\text{Particules distinctes : }\ \Omega = \omega\times\omega\times\cdots\times\omega = \omega^N\] \[\text{Particules identiques : }\ \Omega = \frac{\omega^N}{N!} \approx \left(\frac{e\omega}{N}\right)^N = \omega_c^{\,N}\qquad \omega_c = \frac{e\omega}{N}\]

\(\omega\) : nombre d’états accessibles à une particule. Pour des particules identiques, les \(N!\) permutations des particules entre leurs états donnent le même état du système : on divise par \(N!\), puis on utilise Stirling, \(N! \approx \sqrt{2\pi N}(N/e)^N \approx (N/e)^N\). \(\omega_c\) est le nombre d’états corrigé par particule. Valable quand il y a beaucoup plus d’états que de particules (cas classique ; la statistique quantique du cours 7 traite le reste).

Permutations (diapos 20-22)

Combien de façons de permuter \(N\) particules distinctes ? \(1! = 1\) ; \(2! = 2\) (12, 21) ; \(3! = 6\) (123, 132, 213, 231, 312, 321) ; \(4! = 24\). Démonstration avec 5 jetons : 5 choix pour la première case, puis 4, 3, 2, 1 → \(5\times4\times3\times2\times1 = 5!\) arrangements. Si les particules sont identiques, il ne reste qu’un seul état dans chaque cas.

3.3 Postulat fondamental de la physique statistique

Principe fondamental

Les différents états accessibles d’un système à l’équilibre ont tous la même probabilité d’être atteints (les états sont équiprobables à l’équilibre).

\[p_{\text{un état}} = \frac{1}{\Omega}\qquad\qquad P_{\text{sous-ensemble } i} = \frac{\Omega_i}{\Omega}\]

Conséquence directe : la probabilité d’une configuration (ex. « \(n\) molécules dans le tiers gauche ») est proportionnelle au nombre d’états qui lui correspondent. Attention : équiprobabilité des états ne veut pas dire que les particules sont uniformément réparties (exercice 4 du chapitre 6).

4. Discrétisation des états

4.1 Le principe d’incertitude d’Heisenberg

Une particule est caractérisée par sa position \(\vec r\) et sa quantité de mouvement \(\vec p\), qui semblent former un continuum. Mais la mécanique quantique impose que le produit des incertitudes sur la position et la quantité de mouvement délimitant un état ne peut être plus petit que \(h\) :

Principe d’incertitude

\[\Delta x\,\Delta p_x \ge h\qquad (h = 6{,}626\times10^{-34}\ \text{J s})\]

Dans le cas critique \(\Delta x\Delta p_x = h\). Si deux positions \(x_1, x_2\) vérifient \(|x_1-x_2| \lt h/\Delta p\), on ne peut pas les distinguer : elles appartiennent au même état. On découpe donc l’axe \(x\) en intervalles de longueur \(h/\Delta p\), chacun correspondant à un état différent - et le résultat ne dépend pas de la précision \(\Delta p\) choisie.

4.2 Compter les états dans l’espace des phases

Nombre d’états accessibles à une particule

\[\text{1D : }\ \omega = \frac{[x]\,[p_x]}{h}\qquad\qquad \text{3D : }\ \omega = \frac{V_r\,V_p}{h^3} = \iiint\frac{dx\,dy\,dz\,dp_x\,dp_y\,dp_z}{h^3} = \frac{V}{h^3}\iiint dp^3\]

\(V_r\) : volume accessible en position (le volume \(V\) du récipient pour un gaz) ; \(V_p\) : volume accessible en quantité de mouvement. L’aire minimale d’un état est \(h\) (1D), son volume minimal \(h^3\) (3D).

Quantité de mouvement comprise entre \(p_1\) et \(p_2\) (coordonnées sphériques)

\[dp^3 = p^2\,dp\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\qquad\Longrightarrow\qquad \omega = \frac{V}{h^3}\iiint p^2\sin\theta\,dp\,d\theta\,d\varphi = \frac{4\pi V}{3h^3}\left[p^3\right]_{p_1}^{p_2}\]

Formule utilisable pour une particule isolée caractérisée par sa position et \(p\) ; attention aux conditions de l’exercice (bornes en \(p\), fraction du volume, etc.).

Exemple 3 : électrons d’un plasma

Les électrons sont contraints à une quantité de mouvement maximale \(p_0\). Probabilité qu’un électron ait \(p \le p_0/10\) ? Par équiprobabilité, \(P = \Omega_i/\Omega\) = rapport des volumes de quantité de mouvement : \(\dfrac{(p_0/10)^3}{p_0^3} = 10^{-3}\).

4.3 Généralisation aux autres degrés de liberté

On étend l’idée à tous les degrés de liberté \(\xi\) : ils définissent un volume de dimension \(\nu\), et le nombre d’états est ce volume divisé par le volume minimal d’un état. Pour un gaz, l’énergie ne dépend pas de la position : on intègre aussi sur les positions, ce qui donne \(V\). Pour un solide, la position n’apparaît pas (les particules sont fixées).

\[\text{Gaz : }\ \omega \propto \iiint\frac{dx\,dy\,dz}{h^3}\prod_{\text{ddl}}\int d\xi \propto \frac{V}{h^3}\prod_{\text{ddl}}\int d\xi\qquad\qquad \text{Solide : }\ \omega\propto\prod_{\text{ddl}}\int d\xi\]

5. États accessibles pour \(N\) particules

L’énergie thermique est équirépartie sur les \(N\nu\) degrés de liberté du système ; l’énergie d’un ddl est donc \(\varepsilon = \dfrac{E_{therm}}{N\nu} \propto \xi^2\), d’où \(\xi \propto \sqrt{\dfrac{E_{therm}}{N\nu}}\) et \(\displaystyle\int d\xi \propto \xi \propto \sqrt{\frac{E_{therm}}{N\nu}}\). Chaque ddl apporte donc un facteur \((E_{therm}/N\nu)^{1/2}\) :

Une particule, puis correction pour particules identiques

\[\text{Gaz : }\ \omega \propto V\left(\frac{E_{therm}}{N\nu}\right)^{\nu/2}\qquad \omega_c \propto \frac{V}{N}\left(\frac{E_{therm}}{N\nu}\right)^{\nu/2}\qquad\qquad \text{Solide : }\ \omega = \omega_c \propto \left(\frac{E_{therm}}{N\nu}\right)^{\nu/2}\]

La correction \(e/N\) ne s’applique qu’aux gaz : dans un solide, les particules sont maintenues en place, donc identifiables par leur position.

Nombre d’états accessibles et densité d’états du système

\[\text{Gaz : }\ \Omega = \omega_c^{\,N} \propto \left(\frac{V}{N}\right)^N\left(\frac{E_{therm}}{N\nu}\right)^{N\nu/2}\qquad\qquad \text{Solide : }\ \Omega = \omega_c^{\,N}\propto\left(\frac{E_{therm}}{N\nu}\right)^{N\nu/2}\] \[g(E) = \frac{d\Omega}{dE}\ \propto\ \text{les mêmes expressions}\quad(\text{l’exposant } N\nu/2 - 1 \approx N\nu/2)\]

Avec \(E_{therm} = N\nu\,kT/2\) : gaz monoatomique (\(\nu=3\)) \(g(E) \propto (V/N)^N (kT/2)^{3N/2}\) ; gaz diatomique (\(\nu=5\)) \(g(E)\propto (V/N)^N(kT/2)^{5N/2}\) ; solide (\(\nu=6\)) \(g(E)\propto (kT/2)^{3N}\). Les constantes exactes sont dans la table 6.2 du manuel ; au cours, seules les dépendances (et les rapports) comptent.

Méthode : comparer deux situations avec des logarithmes

Les constantes disparaissent dans un rapport : \(\dfrac{\Omega_f}{\Omega_i} = \left(\dfrac{E_f}{E_i}\right)^{N\nu/2}\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)^N\). On calcule \(\log_{10}(\Omega_f/\Omega_i) = \dfrac{N\nu}{2}\log_{10}\dfrac{E_f}{E_i} + N\log_{10}\dfrac{V_f}{V_i}\) et on écrit la réponse sous la forme \(10^{(\ldots)}\). Rappels : \(e^x = 10^{0{,}4343x}\) et \(\ln(1+\epsilon)\approx\epsilon\) pour \(\epsilon\) petit.

Exemple 4 : une salle chauffée de 1 K (exemple 6.3 du manuel)

\(10^{28}\) molécules d’air (\(\nu = 5\), soit \(N\nu/2 = 2{,}5\times10^{28}\)), de 295 K à 296 K : \(E_f/E_i = 296/295 = 1{,}0034\). \(\log_{10}(\Omega_f/\Omega_i) = 2{,}5\times10^{28}\times\log_{10}(1{,}0034) = 2{,}5\times10^{28}\times1{,}47\times10^{-3} = 3{,}7\times10^{25}\). Le nombre d’états est multiplié par \(10^{3{,}7\times10^{25}}\) : une variation infime de température produit une variation phénoménale de \(\Omega\). C’est cette sensibilité extrême qui fonde toute la thermodynamique (cours 3).

6. À retenir

Chaque terme \(\beta\xi^2\) de l’énergie est un degré de liberté ; \(\nu = 3\) (gaz monoatomique), 5 (diatomique), 6 (solide). Chaque ddl porte en moyenne \(kT/2\) : \(E_{therm} = N\nu kT/2\), \(E = Nu_0 + E_{therm}\).
Trois interactions : thermique (\(\Delta Q\) par conduction, radiation, convection), mécanique (\(\Delta W = p\Delta V\), ...), diffusive (\(\mu\Delta N\)). Premier principe : \(\Delta E = \Delta Q - \Delta W + \mu\Delta N\), \(\Delta W\) étant le travail fourni par le système.
\(\Omega = \omega^N\) (distinctes), \(\Omega = \omega^N/N! \approx (e\omega/N)^N = \omega_c^N\) (identiques) ; \(\Omega(E,\Delta E) = g(E)\Delta E\).
Postulat fondamental : états équiprobables à l’équilibre, \(p = 1/\Omega\), \(P_i = \Omega_i/\Omega\).
Heisenberg \(\Delta x\Delta p_x \ge h\) → un état occupe \(h^3\) : \(\omega = V_rV_p/h^3 = \dfrac{4\pi V}{3h^3}(p_2^3-p_1^3)\).
\(\Omega_{gaz}\propto (V/N)^N (E_{therm}/N\nu)^{N\nu/2}\), \(\Omega_{solide}\propto (E_{therm}/N\nu)^{N\nu/2}\) ; on compare toujours par des rapports et des logarithmes.

Quiz rapide - Cours 2

Une seule bonne réponse par question. Cliquez pour vérifier immédiatement.

Combien de degrés de liberté possède une molécule de gaz diatomique à température ambiante ?

3 translations + 2 rotations (axes perpendiculaires à la liaison). La vibration (2 ddl de plus) n’est active qu’à haute température ; la rotation autour de l’axe de la liaison est inaccessible.

Combien de degrés de liberté possède un atome dans un solide ?

3 ddl cinétiques (\(p_x^2/2m\), ...) + 3 ddl d’énergie potentielle (\(\kappa x^2/2\), ...) = 6.

Énergie thermique moyenne stockée par un degré de liberté ?

\(kT\)
\(\tfrac12 kT\)
\(\tfrac32 kT\)
\(\nu kT\)

Équipartition : \(kT/2\) par ddl. Une particule à \(\nu\) ddl a \(\nu kT/2\) ; \(3kT/2\) est l’énergie cinétique de translation d’un atome (3 ddl).

Énergie thermique totale d’un système de \(N\) particules ayant \(\nu\) ddl chacune ?

\(N\nu kT/2\)
\(NkT\)
\(\nu kT/2\)
\(Nu_0\)

\(E_{therm} = N\nu kT/2\) ; l’énergie interne totale est \(E = Nu_0 + N\nu kT/2\).

Dans \(\Delta E = \Delta Q - \Delta W + \mu\Delta N\), \(\Delta W\) représente :

le travail fourni par le système
le travail reçu par le système
la chaleur reçue
une quantité toujours nulle

Convention du cours : \(\Delta W\) est le travail fourni par le système, d’où le signe moins ; \(\Delta Q\) et \(\Delta N\) sont reçus.

Un gaz fermé est comprimé rapidement sans échange de chaleur. Son énergie interne :

augmente
diminue
reste constante
dépend de \(\mu\)

\(\Delta Q = 0\), \(\Delta N = 0\), et le travail fourni par le système est négatif (on le comprime) : \(\Delta E = -\Delta W \gt 0\). Les molécules rebondissent sur un piston qui avance et gagnent de l’énergie cinétique.

Les trois mécanismes de transfert de chaleur sont :

conduction, radiation, convection
travail, chaleur, diffusion
translation, rotation, vibration
pression, volume, température

Travail / chaleur / diffusion sont les trois types d’interaction ; conduction / radiation / convection sont les trois mécanismes du transfert de chaleur.

\(N\) particules distinctes ayant chacune \(\omega\) états accessibles. Nombre d’états du système ?

\(N\omega\)
\(\omega^N\)
\(\omega^N/N!\)
\(N!\)

Les états se multiplient : \(\Omega = \omega\times\omega\times\cdots = \omega^N\). La division par \(N!\) ne s’applique qu’aux particules identiques.

Pour des particules identiques, le nombre d’états corrigé par particule est :

\(\omega/N\)
\(e\omega/N\)
\(\omega^N\)
\(\omega - N\)

\(\Omega = \omega^N/N! \approx (e\omega/N)^N\) grâce à Stirling (\(N!\approx(N/e)^N\)), donc \(\omega_c = e\omega/N\).

Le postulat fondamental de la physique statistique affirme qu’à l’équilibre :

tous les états accessibles sont équiprobables
l’état de plus basse énergie est le plus probable
les particules sont uniformément réparties
l’énergie de chaque particule est la même

Chaque état a la probabilité \(1/\Omega\). Une configuration est d’autant plus probable qu’elle correspond à plus d’états - c’est ce qui rend la répartition uniforme probable, pas obligatoire.

Volume minimal d’un état dans l’espace des phases (position et quantité de mouvement) à trois dimensions ?

\(h\)
\(h^2\)
\(h^3\)
\(kT\)

\(\Delta x\Delta p_x \ge h\) pour chaque dimension, donc \(h^3\) en 3D : \(\omega = V_rV_p/h^3\).

De quoi dépend le nombre d’états accessibles \(\Omega\) d’un gaz parfait ?

du volume \(V\), de l’énergie thermique et de \(N\)
de la température seulement
du volume seulement
du nombre de particules seulement

\(\Omega_{gaz}\propto (V/N)^N(E_{therm}/N\nu)^{N\nu/2}\). Pour un solide, le volume n’intervient pas.

L’énergie thermique d’un système macroscopique augmente de 0,1 %. Le nombre d’états accessibles :

est multiplié par un facteur astronomique, du type \(10^{10^{20}}\)
augmente de 0,1 %
ne change pas
diminue

\(\Omega_f/\Omega_i = (1{,}001)^{N\nu/2}\) avec \(N\nu/2\sim10^{24}\) : \(\log_{10} = 10^{24}\times4{,}3\times10^{-4} = 4{,}3\times10^{20}\).

On ajoute de la chaleur à de la glace à 0 °C qui fond sans changer de température. Où va l’énergie ?

Dans le niveau de référence \(u_0\) (et éventuellement un changement de \(\nu\))
Dans \(k\)
Dans le nombre de particules \(N\)
Nulle part, elle est perdue

\(E = Nu_0 + N\nu kT/2\) avec \(N\) et \(T\) constants : seuls \(u_0\) (arrangement moléculaire, interactions) et \(\nu\) peuvent changer. Exercice 19 du chapitre 4.

Combien de permutations (arrangements) pour 4 éléments distincts ?

\(4! = 4\times3\times2\times1 = 24\). Si les éléments sont identiques, il n’y a plus qu’un seul état.

La densité d’états \(g(E)\) représente :

le nombre d’états par unité d’énergie
l’énergie moyenne par état
la probabilité d’un état
le nombre de particules par unité de volume

\(\Omega(E,\Delta E) = g(E)\Delta E\) et \(g(E) = d\Omega/dE\).

Exercices à développement (à faire sur papier)

Exemples des diapos et exercices résolus en classe (10 septembre). Gardez les logarithmes pour les grands nombres et écrivez les unités.

Classe - 1er principeBilan d’énergie

D1. Gaz sous un piston

Un gaz est scellé sous un piston de surface \(S\) dans un volume \(V\) aux parois isolantes ; la pression \(P\) est supposée constante. On abaisse le piston d’une distance \(\Delta x\). Faire le bilan des trois types d’échange d’énergie et donner la variation d’énergie interne du gaz (avec son signe).

Corrigé

Transfert thermique : non, le système est thermiquement isolé → \(\Delta Q = 0\).
Transfert mécanique : oui. Le piston pousse le gaz : le gaz reçoit \(F\Delta x = PS\Delta x\). Le travail fourni par le système est donc \(\Delta W = -PS\Delta x\) (équivalent : \(\Delta W = P\Delta V\) avec \(\Delta V = -S\Delta x \lt 0\)).
Transfert de particules : non, système fermé → \(\Delta N = 0\).
Premier principe : \(\Delta E = \Delta Q - \Delta W + \mu\Delta N = 0 - (-PS\Delta x) + 0 = +PS\Delta x\).

ΔE = +PSΔx : le système reçoit de l’énergie (ses molécules accélèrent).

Diapos 20-22Permutations

D2. Permutations de quatre éléments

(a) Combien de permutations (arrangements) sont possibles pour un ensemble de 4 éléments distincts ? (b) Justifier la formule générale \(N!\) avec le raisonnement « choix après choix ». (c) Qu’advient-il si les éléments sont identiques, et quel lien avec \(\Omega = \omega^N/N!\) ?

Corrigé

(a) \(4! = 4\times3\times2\times1 = 24\).
(b) Pour remplir \(N\) cases avec \(N\) jetons numérotés : \(N\) choix pour la première case, \(N-1\) pour la deuxième, ..., 1 pour la dernière → \(N\times(N-1)\times\cdots\times1 = N!\).
(c) Si les éléments sont identiques, les \(N!\) arrangements sont le même état : il n’en reste qu’un. Pour un système de \(N\) particules identiques ayant chacune \(\omega\) états, les \(\omega^N\) états « étiquetés » sont donc regroupés par paquets de \(N!\), d’où \(\Omega = \omega^N/N!\) (valable quand les particules occupent presque toujours des états différents).

(a) 24

Classe - Ex. 3Équiprobabilité

D3. Électrons dans un plasma

Les électrons d’un plasma sont contraints à une quantité de mouvement maximale \(p_0\). Quelle est la probabilité qu’un électron possède une quantité de mouvement inférieure ou égale à \(p_0/10\) ?

Indice

À l’équilibre tous les états sont équiprobables : \(P = \Omega_i/\Omega\). Le nombre d’états est proportionnel au volume accessible dans l’espace des \(p\) (une sphère de rayon \(p\)).

Corrigé

\[P_{p\le p_0/10} = \frac{\Omega_i}{\Omega} = \frac{\dfrac{V}{h^3}\cdot\dfrac{4\pi}{3}\left(\dfrac{p_0}{10}\right)^3}{\dfrac{V}{h^3}\cdot\dfrac{4\pi}{3}p_0^3} = \frac{1}{1000}\]

P = 10⁻³

Le volume en position et les constantes s’éliminent dans le rapport : seule la géométrie en \(p\) compte. Les états à faible \(p\) sont rares parce que le volume d’une sphère croît comme \(p^3\).

Diapo 33 - Ex. 4Nombre d’états

D4. Une salle chauffée de 1 K

Une salle remplie d’air contient \(10^{28}\) molécules à 295 K. Évaluer l’augmentation du nombre d’états accessibles si la température de la pièce augmente de 1 K.

Corrigé

Air ≈ gaz diatomique : \(\nu = 5\), donc \(N\nu/2 = 2{,}5\times10^{28}\). Le volume ne change pas.
\(\Omega\propto E_{therm}^{N\nu/2}\) et \(E_{therm}\propto T\) : \(\dfrac{\Omega_f}{\Omega_i} = \left(\dfrac{296}{295}\right)^{2{,}5\times10^{28}}\).
\(\log_{10}\dfrac{\Omega_f}{\Omega_i} = 2{,}5\times10^{28}\times\log_{10}(1{,}00339) = 2{,}5\times10^{28}\times1{,}47\times10^{-3} = 3{,}7\times10^{25}\).

Ω_f / Ω_i = 10^(3,7 × 10²⁵)

Diapo 34 - Ex. 5 = chap. 6, ex. 7Discrétisation

D5. Une particule dans une boîte

Une particule est confinée dans une boîte de 1 cm × 1 cm × 2 cm ; sa quantité de mouvement est au plus \(3\times10^{-24}\) kg m/s. (a) Probabilité qu’elle se trouve dans un état quantique donné ? (b) Probabilité que \(p \lt 2\times10^{-24}\) kg m/s ? (c) Probabilité que \(10^{-24} \lt p \lt 3\times10^{-24}\) kg m/s et qu’elle soit dans la moitié droite de la boîte ?

Corrigé

(a) \(V_r = 2\times10^{-6}\) m³ ; \(V_p = \tfrac43\pi p_0^3 = \tfrac43\pi(3\times10^{-24})^3 = 1{,}13\times10^{-70}\) (kg m/s)³. \(\omega = \dfrac{V_rV_p}{h^3} = \dfrac{2\times10^{-6}\times1{,}13\times10^{-70}}{(6{,}626\times10^{-34})^3} = \dfrac{2{,}26\times10^{-76}}{2{,}91\times10^{-100}} = 7{,}8\times10^{23}\) états, donc \(P = 1/\omega = 1{,}3\times10^{-24}\).
(b) Rapport des volumes en \(p\) : \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = 0{,}30\).
(c) Fraction des \(p\) : \(1 - \left(\dfrac13\right)^3 = \dfrac{26}{27}\) ; fraction de la position : \(\dfrac12\). \(P = \dfrac{26}{27}\times\dfrac12 = 0{,}48\).

(a) 1,3 × 10⁻²⁴ | (b) 0,30 | (c) 0,48

Classe - Chap. 6, ex. 1Nombre d’états

D6. 10²⁴ molécules identiques

Un système possède \(N = 10^{24}\) particules identiques. De quel facteur le nombre d’états du système augmente-t-il si le nombre d’états accessibles à chaque particule passe (a) de 2 à 3 ; (b) de 100 à 101 ; (c) de \(1{,}000\times10^{30}\) à \(1{,}001\times10^{30}\) ? (Réponses en puissances de 10.)

Indice

\(\Omega = \omega_c^N\) avec \(\omega_c = e\omega/N\) : le facteur \(e/N\) est le même avant et après, donc \(\Omega_f/\Omega_i = (\omega_f/\omega_i)^N\). Passez au \(\log_{10}\).

Corrigé

(a) \(\left(\tfrac32\right)^{10^{24}} = 10^{10^{24}\log_{10}1{,}5} = 10^{0{,}176\times10^{24}} = 10^{1{,}8\times10^{23}}\).
(b) \(\left(1{,}01\right)^{10^{24}} = 10^{10^{24}\times4{,}32\times10^{-3}} = 10^{4{,}3\times10^{21}}\).
(c) \(\left(1{,}001\right)^{10^{24}} = 10^{10^{24}\times4{,}34\times10^{-4}} = 10^{4{,}3\times10^{20}}\).

(a) 10^(1,8 × 10²³) | (b) 10^(4,3 × 10²¹) | (c) 10^(4,3 × 10²⁰)

Même une variation de 0,1 % par particule, élevée à la puissance \(10^{24}\), donne un facteur inimaginable.

Classe - Chap. 6, ex. 21Densité d’états

D7. Une tasse d’eau qu’on fait bouillir

Une tasse contient 1/4 L d’eau ; chaque molécule a 6 degrés de liberté. (a) Combien de molécules ? (b) On chauffe de 295 K à l’ébullition : l’énergie thermique augmente de quel facteur (\(u_0\) constant) ? (c) Estimer le facteur d’augmentation de la densité d’états.

Corrigé

(a) 250 g d’eau, \(M = 18\) g/mol : \(N = \dfrac{250}{18}\times6{,}022\times10^{23} = 8{,}4\times10^{24}\) molécules.
(b) \(E_{therm}\propto T\) : facteur \(\dfrac{373}{295} = 1{,}26\).
(c) \(g(E)\propto E_{therm}^{N\nu/2}\) avec \(N\nu/2 = 3N = 2{,}5\times10^{25}\) : \(\log_{10}\dfrac{g_f}{g_i} = 2{,}5\times10^{25}\times\log_{10}1{,}26 = 2{,}5\times10^{25}\times0{,}102 = 2{,}6\times10^{24}\).

(a) 8,4 × 10²⁴ | (b) 1,26 | (c) ≈ 10^(2,6 × 10²⁴)

Le manuel donne \(10^{1{,}9\times10^{24}}\) pour (c) : l’ordre de grandeur de l’exposant (\(\sim10^{24}\)) est ce qui compte ; la valeur exacte dépend des arrondis sur \(N\) et sur le rapport des températures.

Classe - Chap. 6, ex. 22Nombre d’états d’un gaz

D8. L’air d’un four à 500 K

Un four à 500 K, de volume 0,15 m³, contient \(2{,}2\times10^{24}\) molécules identiques de diazote (5 ddl, masse \(4{,}8\times10^{-26}\) kg). (a) Énergie thermique du système ? (b) La quantité de mouvement varie de 0 à \(p_0\), estimé au double de la valeur quadratique moyenne : volume accessible dans l’espace des quantités de mouvement ? (c) En ne considérant que les translations, combien d’états sont accessibles à une particule isolée ? (d) Nombre d’états par particule corrigé pour des particules identiques ? (e) Nombre d’états accessibles à tout le système ?

Indice

Par équipartition, les 3 ddl de translation portent \(\overline{p^2}/2m = 3kT/2\), donc \(p_{rms} = \sqrt{3mkT}\).

Corrigé

(a) \(E_{therm} = \dfrac{N\nu kT}{2} = \dfrac{2{,}2\times10^{24}\times5\times1{,}381\times10^{-23}\times500}{2} = 3{,}8\times10^4\) J.
(b) \(p_{rms} = \sqrt{3mkT} = \sqrt{3\times4{,}8\times10^{-26}\times1{,}381\times10^{-23}\times500} = 3{,}15\times10^{-23}\) kg m/s, donc \(p_0 = 6{,}3\times10^{-23}\) kg m/s et \(V_p = \tfrac43\pi p_0^3 = 1{,}05\times10^{-66}\) (kg m/s)³.
(c) \(\omega = \dfrac{V_rV_p}{h^3} = \dfrac{0{,}15\times1{,}05\times10^{-66}}{(6{,}626\times10^{-34})^3} = \dfrac{1{,}58\times10^{-67}}{2{,}91\times10^{-100}} = 5{,}4\times10^{32}\) états.
(d) \(\omega_c = \dfrac{e\omega}{N} = \dfrac{2{,}718\times5{,}4\times10^{32}}{2{,}2\times10^{24}} = 6{,}7\times10^8\) états.
(e) \(\Omega = \omega_c^N\) : \(\log_{10}\Omega = N\log_{10}\omega_c = 2{,}2\times10^{24}\times8{,}83 = 1{,}9\times10^{25}\).

(a) 3,8 × 10⁴ J | (b) 1,05 × 10⁻⁶⁶ (kg m/s)³ | (c) 5,4 × 10³² | (d) 6,7 × 10⁸ | (e) 10^(1,9 × 10²⁵)

Lien avec le TD1Équipartition

D9. Énergie thermique d’une mole de diazote

Une mole de N₂ à 300 K. (a) Combien de degrés de liberté par molécule et pour le système ? (b) Énergie thermique totale ? (c) De combien faut-il fournir d’énergie (sans travail) pour élever la température de 1 K ? Exprimer ce résultat par mole et par kelvin.

Corrigé

(a) \(\nu = 5\) ; \(N\nu = 6{,}022\times10^{23}\times5 = 3{,}0\times10^{24}\) ddl.
(b) \(E_{therm} = \dfrac{N\nu kT}{2} = \dfrac{5}{2}N_AkT = \dfrac52\times8{,}314\times300 = 6{,}2\times10^3\) J.
(c) \(\Delta E = \dfrac{N\nu k}{2}\Delta T = \dfrac52 R\,\Delta T = 20{,}8\) J pour 1 K : c’est la capacité thermique molaire à volume constant \(c_V = \dfrac{\nu}{2}R = 20{,}8\) J/(mol K) (exercice 17 du chapitre 4).

(a) 5 ; 3,0 × 10²⁴ | (b) 6,2 kJ | (c) 20,8 J/(mol K)

Exercices suggérés du manuel (liste officielle du cours)

Énoncés paraphrasés en français d’après Stowe (chapitres 4, 5 et 6). Les exercices *** dépassent le cadre du cours (notions du chapitre 1 ou calculs plus longs) ; ils sont tout de même corrigés ici.

Chapitre 4 - Énergie interne

Chap. 4, ex. 1, p. 74Types d’énergie

Énergie interne de votre corps

Donner des exemples de types d’énergie qui font partie de l’énergie interne de votre corps, et d’autres qui n’en font pas partie (sauf si l’on élargit le système à votre environnement).

Corrigé

Énergie interne (stockée dans les mouvements et interactions des particules à l’intérieur du système) : énergie cinétique d’agitation thermique des molécules (translation, rotation, vibration), énergie potentielle des liaisons chimiques (graisses, sucres, ATP), interactions intermoléculaires (\(u_0\)), énergie des électrons dans les atomes.

Pas interne : énergie cinétique de votre corps qui marche ou court (mouvement d’ensemble), énergie potentielle gravitationnelle (vous dans le champ de la Terre), énergie potentielle dans un champ électrique ou magnétique externe. Elles dépendent de l’environnement : elles deviennent internes seulement si le système inclut la Terre, le champ, etc.

Chap. 4, ex. 6, p. 75Énergie potentielle de référence***

Comprimer un solide jusqu’à \(u_0 \gt 0\)

Dans un solide typique, \(u_0\approx-0{,}2\) eV. (a) Si l’espacement interatomique est 0,2 nm, combien d’atomes par m³ ? (b) Quel travail (en J) faut-il fournir à 1 m³ de solide pour amener \(u_0\) à zéro ? (c) Le travail \(F\,dx\) peut s’écrire \(-p\,dV\) ; pour un solide élastique \(dV = -C\,dp\) avec \(C\approx10^{-17}\) m⁵/N. Calculer le travail fourni lorsque la pression passe de 0 à \(p_f\). (d) En déduire la pression nécessaire pour rendre \(u_0\) positif. (e) Valeur typique de \(\partial u_0/\partial p\) à température constante et pression atmosphérique ?

Corrigé

(a) Un atome par cube de \((2\times10^{-10})^3 = 8\times10^{-30}\) m³ → \(1{,}25\times10^{29}\) atomes/m³.
(b) Il faut fournir 0,2 eV par atome : \(W = 0{,}2\times1{,}25\times10^{29} = 2{,}5\times10^{28}\) eV \(= 2{,}5\times10^{28}\times1{,}6\times10^{-19} = 4\times10^9\) J.
(c) \(\Delta W = \int -p\,dV = \int_0^{p_f} C\,p\,dp = \dfrac{C}{2}p_f^2\).
(d) \(p_f = \sqrt{\dfrac{2\Delta W}{C}} = \sqrt{\dfrac{2\times4\times10^9}{10^{-17}}} = 2{,}8\times10^{13}\) Pa (environ \(3\times10^8\) atm : irréaliste en laboratoire, mais c’est le cas au cœur des planètes).
(e) Ordre de grandeur : \(u_0\) varie de 0,2 eV sur \(\sim3\times10^{13}\) Pa → \(\partial u_0/\partial p\sim7\times10^{-15}\) eV/Pa : à pression atmosphérique, \(u_0\) ne dépend pratiquement pas de la pression.

(a) 1,25 × 10²⁹ m⁻³ | (b) 4 × 10⁹ J | (c) C p_f²/2 | (d) ≈ 3 × 10¹³ Pa | (e) ~10⁻¹⁴ eV/Pa

Chap. 4, ex. 7, p. 75Degrés de liberté

Reconnaître le système à son énergie

Trois systèmes : (A) les molécules d’eau d’une boisson froide ; (B) les atomes de cuivre d’une poignée de porte en laiton ; (C) les atomes d’hélium d’un dirigeable. Attribuer à chaque expression l’un des systèmes :

\(\varepsilon = u_0 + \tfrac12\kappa x^2 + \tfrac12\kappa y^2 + \tfrac12\kappa z^2 + \dfrac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m}\) ; \(\varepsilon = \dfrac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m}\) ; \(\varepsilon = u_0 + \dfrac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m}\).

Corrigé

1^re expression (3 ddl potentiels + 3 cinétiques, atomes liés à des positions fixes) → B, le solide. 2^e (cinétique seulement, \(u_0 = 0\)) → C, le gaz monoatomique. 3^e (\(u_0 \lt 0\) mais molécules libres de se déplacer, pas de rappel vers une position) → A, le liquide.

B, C, A

Chap. 4, ex. 8, p. 76Énergie vibrationnelle***

Température d’activation de la vibration de N₂

Chaque atome d’une molécule N₂ est dans un puits de potentiel d’environ 0,02 nm de large. (a) Longueurs d’onde des deux plus grandes ondes stationnaires qui tiennent dans ce puits ? (b) Quantités de mouvement correspondantes (\(p = h/\lambda\)) ? (c) En ne considérant que l’énergie cinétique, quelle énergie (en eV) faut-il pour passer de l’état fondamental au premier état excité (\(m_N = 2{,}34\times10^{-26}\) kg) ? (d) En comparant \(kT\) à cette énergie, température minimale pour exciter les vibrations ?

Corrigé (corrigé du professeur)

(a) D’après la figure 1.9 (p. 16) : \(\lambda_1 = 0{,}02\) nm (la largeur du puits) et \(\lambda_2 = 0{,}01\) nm (la moitié).
(b) \(p = h/\lambda\) : \(p_1 = 3{,}3\times10^{-23}\) kg m/s, \(p_2 = 6{,}6\times10^{-23}\) kg m/s.
(c) \(\Delta E_c = \dfrac{p_2^2-p_1^2}{2m} = \dfrac{(4{,}4-1{,}1)\times10^{-45}}{2\times2{,}34\times10^{-26}} = 7{,}0\times10^{-20}\) J \(= 0{,}44\) eV.
(d) \(kT = \Delta E_c\) → \(T = \dfrac{7{,}0\times10^{-20}}{1{,}38\times10^{-23}}\approx5100\) K.

(a) 0,02 nm ; 0,01 nm | (b) 3,3 × 10⁻²³ ; 6,6 × 10⁻²³ kg m/s | (c) 0,44 eV | (d) ≈ 5 × 10³ K

Remarque : avec la convention des ondes stationnaires sur une corde fixée (\(\lambda_n = 2L/n\), soit \(\lambda_1 = 0{,}04\) nm et \(\lambda_2 = 0{,}02\) nm) on trouve \(\Delta E = 0{,}11\) eV et \(T\approx1300\) K. Dans les deux cas la conclusion est la même : les vibrations sont « gelées » à température ambiante (\(\sim300\) K), ce qui justifie \(\nu = 5\) pour N₂. La valeur expérimentale est \(\approx3400\) K.

Chap. 4, ex. 9, p. 76Énergie rotationnelle

Rotation de N₂

Rotation d’une molécule diatomique autour d’un axe perpendiculaire à la liaison passant par son milieu. Masse d’un atome d’azote \(2{,}34\times10^{-26}\) kg, distance interatomique \(1{,}10\times10^{-10}\) m. (a) Moment d’inertie \(I = \sum m_ir_i^2\) ? (b) Énergie (en eV) pour passer de \(l = 0\) à \(l = 1\), sachant \(L^2 = l(l+1)\hbar^2\) ? (c) Température minimale pour les excitations rotationnelles ?

Corrigé

(a) \(I = 2m\left(\dfrac d2\right)^2 = 2\times2{,}34\times10^{-26}\times(0{,}55\times10^{-10})^2 = 1{,}42\times10^{-46}\) kg m².
(b) \(\varepsilon_r = \dfrac{L^2}{2I}\) ; de \(l=0\) à \(l=1\) : \(\Delta\varepsilon = \dfrac{2\hbar^2}{2I} = \dfrac{\hbar^2}{I} = \dfrac{(1{,}055\times10^{-34})^2}{1{,}42\times10^{-46}} = 7{,}8\times10^{-23}\) J \(= 4{,}9\times10^{-4}\) eV.
(c) \(T = \Delta\varepsilon/k = 5{,}7\) K : les rotations sont actives bien en dessous de la température ambiante, d’où les 2 ddl de rotation.

(a) 1,42 × 10⁻⁴⁶ kg m² | (b) 4,9 × 10⁻⁴ eV | (c) 5,7 K

Chap. 4, ex. 13, p. 76Degrés de liberté

H₂O contre N₂

Pourquoi, à haute température, une molécule de vapeur d’eau (H₂O) possède-t-elle trois degrés de liberté de rotation alors que N₂ n’en a que deux ?

Corrigé

H₂O n’est pas linéaire : elle possède un moment d’inertie appréciable autour des trois axes, donc les rotations autour des trois axes peuvent être excitées. N₂ est linéaire : le moment d’inertie autour de l’axe passant par les deux noyaux est extrêmement petit, donc l’énergie du premier état excité de cette rotation (\(\hbar^2/I\)) est beaucoup trop élevée pour être atteinte : ce ddl est gelé.

Chap. 4, ex. 16, p. 77Degrés de liberté

3, 5 puis 7 degrés de liberté

Les capacités thermiques de certains gaz diatomiques montrent 3 degrés de liberté à très basse température, 5 à température intermédiaire et 7 à très haute température. Comment l’expliquer ?

Corrigé

Très basse température : \(kT\) est insuffisant pour exciter la rotation (exercice 9 : quelques kelvins) → seules les 3 translations : \(\nu = 3\).
Température intermédiaire (cas du cours) : les 2 rotations perpendiculaires à la liaison s’activent → \(\nu = 5\).
Très haute température (\(\sim10^3\) K, exercice 8) : la vibration de la liaison s’active ; elle apporte 2 ddl (énergie cinétique de vibration + énergie potentielle \(\tfrac12\kappa x^2\)) → \(\nu = 7\).

Le corrigé manuscrit du cours compte « 3 ddl de vibration » (\(\nu = 8\)) ; pour une molécule diatomique il n’y a qu’un seul mode de vibration, soit 2 ddl, ce qui donne les 7 de l’énoncé.

Chap. 4, ex. 19, p. 77Chaleur latente de fusion

Fonte de la glace à 0 °C

À 0 °C, une molécule d’eau a six degrés de liberté dans la glace comme dans l’eau liquide. Une mole pèse 18 g et la chaleur latente de fusion vaut 6025 J/mol. Calculer en eV : (a) l’énergie thermique moyenne par molécule dans l’eau liquide et dans la glace à 0 °C ; (b) l’énergie ajoutée par molécule lors du changement d’état ; (c) la variation de \(u_0\) du solide au liquide. L’énergie thermique augmente-t-elle, diminue-t-elle ou reste-t-elle la même pendant la fonte ?

Corrigé

(a) \(\varepsilon_{therm} = \dfrac{\nu kT}{2} = 3kT = 3\times1{,}381\times10^{-23}\times273 = 1{,}13\times10^{-20}\) J \(= 0{,}0707\) eV, identique dans les deux phases (même \(\nu\), même \(T\)).
(b) \(\dfrac{6025}{6{,}022\times10^{23}} = 1{,}0\times10^{-20}\) J \(= 0{,}0625\) eV par molécule.
(c) \(E = Nu_0 + E_{therm}\) avec \(E_{therm}\) inchangée : toute l’énergie va dans \(u_0\) : \(\Delta u_0 = +0{,}0625\) eV (le puits de potentiel est moins profond dans le liquide). L’énergie thermique reste la même.

(a) 0,0707 eV | (b) 0,0625 eV | (c) Δu₀ = +0,0625 eV ; E_therm inchangée

Chap. 4, ex. 22, p. 78Énergie et travail

Bilan d’énergie d’un alpiniste

Vous et votre équipement pesez 700 N. Un quart de l’énergie alimentaire sert au travail (monter) et trois quarts deviennent de la chaleur perdue, dont la moitié sert à évaporer la sueur. Par kilomètre d’élévation, combien de kg de nourriture brûlez-vous et combien de kg d’eau perdez-vous ? (Nourriture : \(4\times10^6\) J/kg ; chaleur latente d’évaporation : \(2{,}5\times10^6\) J/kg.)

Corrigé

Travail pour monter 1 km : \(\Delta W = F\Delta x = 700\times10^3 = 7\times10^5\) J.
C’est 1/4 de l’énergie fournie : \(\Delta E = 2{,}8\times10^6\) J → \(2{,}8\times10^6/4\times10^6 = 0{,}7\) kg de nourriture.
Chaleur perdue : \(\tfrac34\times2{,}8\times10^6 = 2{,}1\times10^6\) J, dont la moitié (\(1{,}05\times10^6\) J) évapore la sueur : \(1{,}05\times10^6/2{,}5\times10^6 = 0{,}42\) kg d’eau.

0,7 kg de nourriture et 0,42 L d’eau par kilomètre d’élévation

Chapitre 5 - Interactions entre systèmes

Chap. 5, ex. 1, p. 92Transfert thermique

Une pierre chaude dans une pièce froide

Une petite pierre à 390 K est dans un bâtiment dont l’air et les murs sont à 273 K. L’air conduisant très mal, le transfert est surtout radiatif. (a) Les molécules des murs et de l’air émettent-elles aussi des ondes électromagnétiques ? (b) Le système froid étant bien plus grand, ne rayonne-t-il pas plus d’énergie au total que la pierre ? (c) Alors pourquoi l’énergie va-t-elle nettement de la pierre vers l’air et non l’inverse ?

Corrigé

(a) Oui : tout corps dont les particules chargées s’agitent rayonne. (b) Oui, au total les murs et l’air rayonnent beaucoup plus d’énergie, mais... (c) seule une infime fraction de ce rayonnement atteint la petite pierre, alors que la pierre, plus chaude, rayonne plus par unité de surface (\(\propto T^4\), cours 8) ; le bilan net va de la pierre vers l’environnement.

Chap. 5, ex. 2, p. 92Énergie et travail

Un volume qui diminue sans pression

Un système n’est soumis à aucune pression, mais son volume diminue parce qu’une paroi du récipient avance. (a) Un travail est-il effectué sur le système ? (b) Expliquer, d’un point de vue microscopique, pourquoi l’énergie interne n’augmente pas.

Corrigé

(a) \(\Delta W = p\Delta V = 0\) puisque \(p = 0\) : aucun travail. (b) La pression vient des collisions des molécules sur les parois ; s’il n’y a pas de pression, aucune molécule ne frappe la paroi mobile et aucune n’en reçoit d’énergie cinétique.

Chap. 5, ex. 5, p. 93Énergie et travail

Détente adiabatique dans un cylindre de moteur

À l’explosion, le gaz est à 2000 K, \(8\times10^5\) Pa, 100 cm³ ; le piston a une section de 80 cm². Le gaz se détend adiabatiquement (\(pV^\gamma = \) cte, \(\gamma = 1{,}4\)) jusqu’à dix fois son volume. (a) Travail fourni par le gaz ? (b) Température finale (gaz parfait, \(pV/T = \) cte) ?

Corrigé

(a) \(\Delta W = \displaystyle\int_{V_1}^{V_2}p\,dV\) avec \(p = p_1V_1^\gamma V^{-\gamma}\) : \(\Delta W = \dfrac{p_1V_1 - p_2V_2}{\gamma-1}\). Or \(p_2 = p_1(V_1/V_2)^\gamma = 8\times10^5\times10^{-1{,}4} = 3{,}18\times10^4\) Pa, \(V_1 = 10^{-4}\) m³, \(V_2 = 10^{-3}\) m³ : \(\Delta W = \dfrac{80 - 31{,}8}{0{,}4} = 120\) J.
(b) \(T_2 = T_1\dfrac{p_2V_2}{p_1V_1} = 2000\times\dfrac{31{,}8}{80} = 796\) K.

(a) 120 J | (b) ≈ 800 K

L’énergie interne diminue de 120 J (\(\Delta Q = 0\)) : c’est ce qui fait chuter la température (cours 4, processus adiabatique).

Chap. 5, ex. 7, p. 93Énergie potentielle de référence

Acide sulfurique dans l’eau

Une molécule de H₂SO₄ entre dans de l’eau pure et la température monte. Le niveau \(u_0\) de la molécule dans l’eau est-il positif ou négatif ? La variation de potentiel chimique des molécules qui entrent en solution est-elle positive ou négative ?

Corrigé

\(u_0\) est négatif (plus profond qu’avant) : de l’énergie potentielle est libérée sous forme d’énergie thermique, d’où l’échauffement. La variation de potentiel chimique est négative : les particules diffusent spontanément vers le système où leur potentiel chimique est le plus bas (ici la solution).

Chap. 5, ex. 10, p. 94Bilan d’énergie***

Mélange de deux systèmes

Le système B a \(2\times10^{25}\) particules avec \(u_{0,B} = -0{,}35\) eV et 5 ddl ; le système A a \(10^{26}\) particules avec \(u_{0,A} = -0{,}40\) eV et 3 ddl. Après mélange, les particules de A sont inchangées, mais celles de B ont \(u_{0,B} = -0{,}25\) eV et 3 ddl. Les deux systèmes sont à 290 K avant le mélange : température finale ?

Indice

Système isolé : l’énergie totale \(E = \sum N u_0 + \sum N\nu kT/2\) est conservée. Attention aux conversions eV ↔ J (\(1\ \text{eV} = 1{,}602\times10^{-19}\) J).

Corrigé

Avant. Thermique : \(E_A = \dfrac{10^{26}\times3\times1{,}381\times10^{-23}\times290}{2} = 6{,}0\times10^5\) J ; \(E_B = \dfrac{2\times10^{25}\times5\times1{,}381\times10^{-23}\times290}{2} = 2{,}0\times10^5\) J. Potentielle : \(10^{26}(-0{,}40) + 2\times10^{25}(-0{,}35) = -4{,}7\times10^{25}\) eV \(= -7{,}53\times10^6\) J. Total : \(E = -6{,}73\times10^6\) J.
Après. Potentielle : \(10^{26}(-0{,}40)+2\times10^{25}(-0{,}25) = -4{,}5\times10^{25}\) eV \(= -7{,}21\times10^6\) J. Thermique : \((10^{26}+2\times10^{25})\times3\times\dfrac{k T_0}{2} = 2{,}49\times10^3\,T_0\) J/K.
Conservation. \(-7{,}21\times10^6 + 2{,}49\times10^3\,T_0 = -6{,}73\times10^6\) → \(T_0 = \dfrac{0{,}48\times10^6}{2{,}49\times10^3} = 1{,}9\times10^2\) K.

T₀ ≈ 190 K : le mélange se refroidit (principe des compresses froides, exercice 9).

Physiquement : \(u_{0,B}\) remonte de 0,10 eV par particule, ce qui absorbe \(3{,}2\times10^5\) J d’énergie thermique, et le nombre total de ddl diminue aussi. Le corrigé manuscrit distribué aboutit à 744,8 K après avoir posé le même bilan ; en refaisant le calcul avec les nombres ci-dessus on obtient ≈ 190 K, et la température doit effectivement baisser puisque l’énergie potentielle totale augmente. Vérifiez le calcul vous-même et demandez au professeur en cas de doute.

Chap. 5, ex. 11-13, p. 94Changement d’état***

Chaleur latente et niveau \(u_0\)

11. Un matériau se vaporise à 700 K ; les molécules ont 3 ddl dans les deux phases ; \(u_0 = -0{,}12\) eV dans le liquide. Chaleur latente de vaporisation en J/mol ?

12. Même question avec 3 ddl dans le liquide mais 5 dans le gaz.

13. Un solide se sublime à 300 K : 6 ddl et \(u_0 = -0{,}15\) eV dans le solide, 3 ddl et \(u_0 = 0\) dans le gaz. Chaleur latente de sublimation en J/mol ?

Indice

La chaleur latente \(L\) est l’énergie à fournir, à \(T\) constante, pour passer d’une phase à l’autre : \(E_{\text{phase 1}} + L = E_{\text{phase 2}}\) avec \(E = Nu_0 + N\nu kT/2\) et \(u_0 = 0\) dans le gaz. Prendre \(N = N_A\) pour une mole.

Corrigé

Bilan par mole : \(N_Au_0 + N_A\dfrac{\nu_1 kT}{2} + L = N_A\dfrac{\nu_2 kT}{2}\), donc \(L = N_A\left[\dfrac{(\nu_2-\nu_1)kT}{2} - u_0\right]\).

11. \(\nu_2 = \nu_1\) : \(L = -N_Au_0 = 6{,}022\times10^{23}\times0{,}12\times1{,}602\times10^{-19} = 1{,}16\times10^4\) J/mol.
12. \(L = 6{,}022\times10^{23}\left[\dfrac{2\times1{,}381\times10^{-23}\times700}{2}\right] + 1{,}16\times10^4 = 5{,}8\times10^3 + 1{,}16\times10^4 = 1{,}74\times10^4\) J/mol (corrigé du professeur : 17 374 J/mol).
13. \(L = 6{,}022\times10^{23}\left[\dfrac{(3-6)\times1{,}381\times10^{-23}\times300}{2} + 0{,}15\times1{,}602\times10^{-19}\right] = 6{,}022\times10^{23}\left[-6{,}2\times10^{-21} + 2{,}40\times10^{-20}\right] = 1{,}07\times10^4\) J/mol.

11 : 1,16 × 10⁴ J/mol | 12 : 1,74 × 10⁴ J/mol | 13 : 1,07 × 10⁴ J/mol

Le manuel indique 15 600 J/mol pour le 11 ; avec les données de l’énoncé et le bilan du cours, on obtient 11 600 J/mol. Pour le 13, le résultat (10 700 J/mol) coïncide avec le manuel.

Chap. 5, ex. 16, p. 94Réaction

Combustion du carbone

Combustion du carbone dans l’oxygène : estimer \(u_0(\text{CO}_2) - [u_0(\text{C}) + u_0(\text{O}_2)]\) sachant que le carbone et l’oxygène partent de 295 K et que la flamme est à 3000 K. Le carbone (graphite) a 6 ddl par atome ; O₂ et CO₂ ont 5 ddl chacune.

Corrigé

Réaction C + O₂ → CO₂ : on prend une molécule de chaque. Système isolé → l’énergie est conservée :

\[u_0(\text{C}) + u_0(\text{O}_2) + \frac{(\nu_C + \nu_{O_2})kT_1}{2} = u_0(\text{CO}_2) + \frac{\nu_{CO_2}kT_2}{2}\] \[\Delta u_0 = \frac{k}{2}\left[(\nu_C+\nu_{O_2})T_1 - \nu_{CO_2}T_2\right] = \frac{1{,}381\times10^{-23}}{2}\left[11\times295 - 5\times3000\right] = -8{,}1\times10^{-20}\ \text{J} = -0{,}51\ \text{eV}\]

Δu₀ ≈ −0,5 eV par molécule de CO₂ formée (l’énergie potentielle libérée chauffe la flamme)

Chap. 5, ex. 20, p. 95Changement d’état***

Vaporisation d’un acide : travail et \(u_0\)

La chaleur latente de vaporisation d’un acide à température ambiante est 19 260 J/mol ; les molécules ont 6 ddl dans les deux phases ; le travail dû au changement de volume pendant la condensation est \(p\Delta V\approx nRT\). (a) En négligeant \(u_0\) dans la vapeur, calculer \(u_0\) (en eV) de l’acide liquide à température ambiante. (b) Quand \(10^{-2}\) mol d’acide liquide est ajouté à 1 L d’eau (tous deux à température ambiante), la température monte de 0,1 °C. Profondeur du puits de potentiel de cet acide dans l’eau ?

Corrigé

(a) Bilan pour une mole à \(T = 293\) K, en comptant le travail \(nRT = N_AkT\) fourni à l’atmosphère par la vapeur qui se forme : \(N_Au_0 + N_A\dfrac{\nu kT}{2} + L = N_A\dfrac{\nu kT}{2} + N_AkT\), donc \(u_0 = kT - \dfrac{L}{N_A} = 4{,}05\times10^{-21} - 3{,}20\times10^{-20} = -2{,}8\times10^{-20}\) J \(= -0{,}17\) eV.
(b) Chaleur libérée : \(4186\times0{,}1 = 419\) J pour \(10^{-2}\times6{,}022\times10^{23} = 6{,}0\times10^{21}\) molécules, soit \(7{,}0\times10^{-20}\) J \(= 0{,}43\) eV par molécule. Le puits dans l’eau est donc plus profond de 0,43 eV : \(u_0 = -0{,}17 - 0{,}43 = -0{,}60\) eV.

(a) −0,17 eV | (b) ≈ −0,60 eV

Chap. 5, ex. 22, p. 95Moment magnétique et travail***

Aimantation de l’aluminium

Pour l’aluminium, le moment magnétique induit est proportionnel au champ et parallèle à lui : \(\mu = cB\) avec \(c = 1830\) A² m³/N pour 1 m³. Le champ passe de 0 à 1,3 T (1 T = 1 N/(A m)). (a) Travail effectué sur l’échantillon ? (b) Ce travail augmente l’énergie interne, mais l’énergie potentielle des aimants atomiques diminue quand ils s’alignent : comment l’énergie interne peut-elle augmenter ?

Corrigé

(a) \(dW = -B\,d\mu = -cB\,dB\) : \(\Delta W = -\displaystyle\int_0^{1{,}3}cB\,dB = -\frac{c}{2}B^2 = -\frac{1830\times1{,}69}{2} = -1546\) J. Le travail fourni par le système est négatif : on a fourni 1546 J à l’échantillon (\(\Delta E = -\Delta W = +1546\) J).
(b) L’énergie interne n’inclut pas l’énergie potentielle d’interaction avec le champ externe (comme elle n’inclut pas l’énergie potentielle gravitationnelle) ; le travail reçu augmente l’énergie thermique, et on peut s’attendre à une élévation de température.

(a) 1546 J fournis à l’échantillon (ΔW = −1546 J) | (b) l’énergie interne contient l’énergie thermique, pas l’énergie potentielle dans le champ externe

Chap. 5, ex. 23, p. 96Travail de pression

Détente d’un gaz à 150 atm

Un gaz possédant \(10^{27}\) degrés de liberté est sous 150 atm. On le laisse se détendre de 0,01 m³ sans échange de chaleur ni de particules. (a) Travail fourni par le gaz ? (b) Variation de température ? (Trouver d’abord la variation d’énergie interne.)

Corrigé

(a) \(\Delta W = p\Delta V = 150\times1{,}013\times10^5\times0{,}01 = 1{,}52\times10^5\) J.
(b) \(\Delta E = \Delta Q - \Delta W = -1{,}52\times10^5\) J. Or \(E_{therm} = \dfrac{N\nu kT}{2}\) → \(\Delta T = \dfrac{2\Delta E}{N\nu k} = \dfrac{-2\times1{,}52\times10^5}{10^{27}\times1{,}381\times10^{-23}} = -22\) K.

(a) 1,52 × 10⁵ J | (b) ΔT = −22 K

Chapitre 6 - Énergie interne et nombre d’états accessibles

Chap. 6, ex. 1, p. 112Nombre d’états

10²⁴ particules identiques

Voir l’exercice à développement D6 (résolu en classe).

Chap. 6, ex. 2, p. 112Nombre d’états

10²⁸ molécules distinctes

Une salle contient \(10^{28}\) molécules d’air distinctes. (a) Si l’on ne s’intéresse qu’à leur répartition entre les moitiés avant et arrière, chaque molécule a deux états : combien de configurations pour le système (en puissances de 10) ? (b) Si la salle est divisée en quarts ? (c) En 156 compartiments ?

Corrigé

Particules distinctes : \(\Omega = \omega^N\), \(\log_{10}\Omega = N\log_{10}\omega\).

(a) \(2^{10^{28}} = 10^{0{,}301\times10^{28}} = 10^{3\times10^{27}}\).
(b) \(4^{10^{28}} = 10^{0{,}602\times10^{28}} = 10^{6\times10^{27}}\).
(c) \(156^{10^{28}} = 10^{2{,}19\times10^{28}}\).

10^(3 × 10²⁷) ; 10^(6 × 10²⁷) ; 10^(2,2 × 10²⁸)

Chap. 6, ex. 7, p. 113Discrétisation du volume accessible

Particule dans une boîte

Voir l’exercice à développement D5 (vu en classe).

Chap. 6, ex. 9, p. 113Niveaux d’énergie***

Espacement des niveaux d’énergie dans une salle

\(10^{28}\) molécules d’air dans une salle de 5 m de large. Une particule confinée est représentée par une onde stationnaire dont seules certaines longueurs d’onde tiennent (figure 1.9). \(p = h/\lambda\), \(E = p^2/2m\), \(m = 4{,}8\times10^{-26}\) kg. (a) Plus petite énergie possible d’une molécule (plus grande longueur d’onde) ? (b) Énergie suivante ? (c) Si l’on ajoute à l’air une énergie infime prise par la molécule la plus lente, quelle est la plus petite énergie qu’on puisse ajouter ?

Corrigé

(a) Plus grande onde stationnaire : \(\lambda_1 = 2L = 10\) m → \(p_1 = \dfrac{6{,}626\times10^{-34}}{10} = 6{,}6\times10^{-35}\) kg m/s → \(E_1 = \dfrac{p_1^2}{2m} = \dfrac{4{,}39\times10^{-69}}{9{,}6\times10^{-26}} = 4{,}6\times10^{-44}\) J \(= 2{,}9\times10^{-25}\) eV.
(b) \(\lambda_2 = L = 5\) m → \(p_2 = 2p_1\), \(E_2 = 4E_1 = 1{,}14\times10^{-24}\) eV.
(c) \(E_2 - E_1 = 3E_1 = 8{,}6\times10^{-25}\) eV : les niveaux sont si serrés que l’énergie est pratiquement continue - d’où la densité d’états \(g(E)\).

(a) 2,9 × 10⁻²⁵ eV | (b) 1,1 × 10⁻²⁴ eV | (c) 8,6 × 10⁻²⁵ eV

Chap. 6, ex. 12, p. 114Éléments distincts ou identiques

Deux dés distinguables ou non

On lance deux dés. Combien de configurations différentes si les dés sont (a) distinguables ; (b) indistinguables ? (Remarquer que \(2!\) n’est pas le bon facteur de correction : le facteur \(N!\) n’est valable que si deux particules ont peu de chances d’occuper le même état - or deux dés peuvent montrer le même nombre.)

Corrigé

(a) \(6\times6 = 36\). (b) Les paires \((a,b)\) et \((b,a)\) sont confondues, mais les 6 doubles \((a,a)\) n’ont pas de jumeau : \(\dfrac{36-6}{2} + 6 = 21\) configurations (et non \(36/2! = 18\)).

(a) 36 | (b) 21

Chap. 6, ex. 15, p. 114États d’un système

Combiner deux systèmes

Le système A a 30 particules à 2 états chacune, le système B 20 particules à 3 états chacune ; toutes les particules sont distinguables. Nombre d’états de (a) A ; (b) B ; (c) du système combiné A + B ?

Corrigé

(a) \(\Omega_A = 2^{30} = 1{,}07\times10^9\). (b) \(\Omega_B = 3^{20} = 3{,}49\times10^9\). (c) \(\Omega_{A+B} = \Omega_A\Omega_B = 3{,}7\times10^{18}\) : les nombres d’états se multiplient (c’est pourquoi, au cours 3, les entropies \(S = k\ln\Omega\) s’additionnent).

1,1 × 10⁹ ; 3,5 × 10⁹ ; 3,7 × 10¹⁸

Chap. 6, ex. 18, p. 114Densité d’états

La densité d’états double quand l’énergie double

Dans un certain système, la densité d’états double lorsque l’énergie interne double. (a) Système macroscopique ou microscopique ? (b) Combien de degrés de liberté ?

Corrigé

(a) Une augmentation aussi faible de \(\Omega\) ne peut venir que d’un système microscopique (pour un système macroscopique on obtiendrait \(10^{10^{20}}\)). (b) \(g(E)\propto E_{therm}^{N\nu/2}\) : \(2^{N\nu/2} = 2\) → \(N\nu/2 = 1\) → \(N\nu = 2\) degrés de liberté.

(a) microscopique | (b) 2 ddl

Chap. 6, ex. 21, p. 115Nombre d’états

Une tasse d’eau

Voir l’exercice à développement D7 (résolu en classe).

Chap. 6, ex. 22, p. 115Volumes accessibles

L’air d’un four

Voir l’exercice à développement D8 (résolu en classe).

Chap. 6, ex. 23, p. 115Volumes accessibles

L’air d’une salle de classe

Une salle de classe à 290 K contient \(3\times10^{27}\) molécules d’air (5 ddl, masse \(4{,}8\times10^{-26}\) kg) ; dimensions 3 m × 6 m × 7 m. (a) Énergie thermique du système ? (b) Volume accessible dans l’espace des quantités de mouvement, avec \(p_0\approx2p_{rms}\) ? (c) Nombre d’états de translation accessibles à une particule seule ? (d) \(\omega_c\) si toutes les particules sont identiques ? (e) Nombre d’états du système ? (f) Reprendre (d) et (e) avec 79 % de molécules N₂ identiques et 21 % de molécules O₂ identiques (masses semblables).

Corrigé

(a) \(E_{therm} = \dfrac{3\times10^{27}\times5\times1{,}381\times10^{-23}\times290}{2} = 3{,}0\times10^7\) J.
(b) \(p_{rms} = \sqrt{3mkT} = \sqrt{3\times4{,}8\times10^{-26}\times1{,}381\times10^{-23}\times290} = 2{,}40\times10^{-23}\) kg m/s ; \(p_0 = 4{,}8\times10^{-23}\) ; \(V_p = \tfrac43\pi p_0^3 = 4{,}6\times10^{-67}\) (kg m/s)³.
(c) \(V = 126\) m³ : \(\omega = \dfrac{126\times4{,}6\times10^{-67}}{2{,}91\times10^{-100}} = 2{,}0\times10^{35}\).
(d) \(\omega_c = \dfrac{e\omega}{N} = \dfrac{2{,}718\times2{,}0\times10^{35}}{3\times10^{27}} = 1{,}8\times10^8\).
(e) \(\log_{10}\Omega = N\log_{10}\omega_c = 3\times10^{27}\times8{,}26 = 2{,}5\times10^{28}\) → \(\Omega = 10^{2{,}5\times10^{28}}\).
(f) Deux populations identiques entre elles : \(N_1 = 2{,}37\times10^{27}\) (N₂) → \(\omega_{c1} = e\omega/N_1 = 2{,}3\times10^8\) ; \(N_2 = 6{,}3\times10^{26}\) (O₂) → \(\omega_{c2} = 8{,}6\times10^8\). \(\Omega = \omega_{c1}^{N_1}\omega_{c2}^{N_2}\) : \(\log_{10}\Omega = 2{,}37\times10^{27}\times8{,}36 + 6{,}3\times10^{26}\times8{,}94 = 2{,}54\times10^{28}\).

(a) 3,0 × 10⁷ J | (b) 4,6 × 10⁻⁶⁷ (kg m/s)³ | (c) 2,0 × 10³⁵ | (d) 1,8 × 10⁸ | (e) 10^(2,5 × 10²⁸) | (f) 2,3 × 10⁸ et 8,6 × 10⁸ ; 10^(2,54 × 10²⁸)