La statistique quantique

1. (a) \(\varepsilon_1 - \varepsilon_0 = 10{,}2\) eV et \(kT = 8{,}617\times10^{-5}\times295 = 0{,}0254\) eV, donc \(\beta(\varepsilon_1 - \varepsilon_0) = 401\) : \(P_1/P_0 = e^{-401} = 10^{-174}\). Aucun atome excité thermiquement à température ambiante.
2. (b) \(e^{-\beta\Delta\varepsilon} = 1/2 \Rightarrow \beta\Delta\varepsilon = \ln 2 \Rightarrow T = \Delta\varepsilon/(k\ln 2) = 10{,}2/(8{,}617\times10^{-5}\times0{,}693) = 1{,}7\times10^{5}\) K.

(a) \(e^{-401} \approx 10^{-174}\) | (b) \(1{,}7\times10^{5}\) K

1. \(kT = 8{,}617\times10^{-5}\times500 = 0{,}0431\) eV ; \(x = \beta(\varepsilon - \mu) = 0{,}1/0{,}0431 = 2{,}32\).
2. \(P_0/P_1 = Ce^{0}/(Ce^{-x}) = e^{x} = e^{2{,}32} = 10{,}2\).
3. Pour aller plus loin : \(C = 1 - e^{-x} = 0{,}902\), \(P_0 = 0{,}902\), \(P_1 = 0{,}089\), et le nombre d'occupation \(\bar n = 1/(e^{x} - 1) = 0{,}109\).

\(P_0/P_1 = e^{2{,}32} \approx 10\)

1. \(\varepsilon - \mu = 0{,}03\) eV ; \(kT = 0{,}0259\) eV ; \(x = 1{,}16\).
2. \(C = 1/\sum_{n=0}^{1} e^{-nx} = 1/(1 + e^{-1{,}16}) = 1/1{,}313 = 0{,}76\).
3. État vide : \(P_0 = C = 0{,}76\) ; état plein : \(P_1 = Ce^{-x} = 0{,}24\). Vérification : \(P_1\) est aussi le nombre d'occupation \(1/(e^{1{,}16} + 1) = 0{,}24\).

\(P_0 = 0{,}76\), \(P_1 = 0{,}24\)

1. \(\bar\varepsilon_{trans} = \tfrac{1}{2}m\overline{v^2} = 3\times\tfrac{1}{2}kT\), donc \(v_{rms} = \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{3kT/m}\).
2. N₂ : \(3kT = 3\times1{,}381\times10^{-23}\times293 = 1{,}21\times10^{-20}\) J ; \(v_{rms} = \sqrt{1{,}21\times10^{-20}/4{,}7\times10^{-26}} = 508\) m/s.
3. Électron : \(v_{rms} = \sqrt{1{,}21\times10^{-20}/9{,}11\times10^{-31}} = 1{,}15\times10^{5}\) m/s. (Dans un métal, les électrons sont dégénérés et vont en fait beaucoup plus vite, cours 9.)

\(v_{rms} = \sqrt{3kT/m}\) : 508 m/s pour N₂, \(1{,}2\times10^{5}\) m/s pour un électron classique

1. (a) Distinctes : ①|②, ②|①, ①②|-, -|①② : 2 simples et 2 doubles, \(\Omega_D = 4\). Classique corrigé : \(4/2! = 2\), soit 1 et 1. Bosons : ●|●, ●●|-, -|●● : 1 simple et 2 doubles (3 au total). Fermions : ●|● seulement : 1 simple, 0 double.
2. (b) Distinctes : \(3^3 = 27\) : 6 simples (permutations de ①②③ dans trois cases), 18 doubles, 3 triples. Classique corrigé \(/3! = 6\) : 1, 3 et 1/2 (4,5 au total). Bosons : 1 simple (●|●|●), 6 doubles (choix de la case double × choix de la case simple), 3 triples (10 au total). Fermions : 1 simple, 0, 0.
3. La correction \(1/N!\) est exacte pour l'occupation simple mais sous-estime les occupations multiples des bosons (3 contre 6 doubles, 1/2 contre 3 triples) et surestime celles des fermions (qui n'en ont pas). Les états de basse énergie, fortement occupés, reçoivent donc plus de particules avec des bosons et moins avec des fermions que ne le prédit le calcul classique.

(a) 4 / 2 / 3 / 1 | (b) 27 / 4,5 / 10 / 1 (distinctes / classique / bosons / fermions)

1. \(kT = 8{,}617\times10^{-5}\times273 = 0{,}02352\) eV ; \(\beta\varepsilon = 0{,}02/0{,}02352 = 0{,}850\) ; \(e^{-0{,}850} = 0{,}427\).
2. (a) \(\sum_n e^{-n\beta\varepsilon} = 1/(1 - 0{,}427) = 1{,}746\), donc \(C = 1 - e^{-\beta\varepsilon} = 0{,}573\).
3. (b) \(P_0 = Ce^{0} = 0{,}573\). (c) \(P_1 = Ce^{-\beta\varepsilon} = 0{,}573\times0{,}427 = 0{,}245\).

Même valeurs que le corrigé du professeur (0,572 et 0,245). À 500 K (ex. 7), on aurait \(C = 0{,}371\), \(P_0 = 0{,}371\), \(P_1 = 0{,}233\) : plus il fait chaud, plus les états excités sont peuplés.

(a) \(C = 0{,}573\) | (b) \(P_0 = 0{,}573\) | (c) \(P_1 = 0{,}245\)

1. (a) \(T = 290\) K, \(kT = 0{,}0250\) eV, \(\beta\Delta\varepsilon = 1{,}60\), \(e^{-1{,}60} = 0{,}202\). \(C = 1/(1 + 3\times0{,}202) = 1/1{,}606 = 0{,}623\) et \(P_0 = C = 0{,}623\) : 62 % des molécules au fondamental.
2. (b) Fraction excitée \(= 3Ce^{-\beta\Delta\varepsilon} = 3e^{-\beta\Delta\varepsilon}/(1 + 3e^{-\beta\Delta\varepsilon}) = 1/2 \Rightarrow 3e^{-\beta\Delta\varepsilon} = 1 \Rightarrow \beta\Delta\varepsilon = \ln 3\).
3. \(T = \Delta\varepsilon/(k\ln 3) = 0{,}04/(8{,}617\times10^{-5}\times1{,}099) = 423\) K.

Sans la dégénérescence (un seul état excité), la moitié ne serait jamais excitée : la fraction excitée tend vers \(g_1/(g_0 + g_1) = 3/4\) ici, vers 1/2 seulement à \(T \to \infty\) avec \(g_1 = g_0\).

(a) 0,62 | (b) 423 K

1. \(m = 10^{-8}\ \text{g} = 10^{-11}\) kg ; eau glacée : \(T = 273\) K.
2. Deux degrés de liberté : \(\tfrac{1}{2}m\overline{v^2} = 2\times\tfrac{1}{2}kT\), donc \(v_{rms} = \sqrt{2kT/m} = \sqrt{2\times1{,}381\times10^{-23}\times273/10^{-11}} = 2{,}7\times10^{-5}\) m/s, soit 27 µm/s.
3. Avec trois degrés de liberté (l'énoncé abrégé de la diapo ne précise pas « deux dimensions »), on obtiendrait \(\sqrt{3kT/m} = 3{,}4\times10^{-5}\) m/s. La réponse du manuel (\(2{,}8\times10^{-5}\) m/s) confirme la version à deux dimensions.

\(v_{rms} = \sqrt{2kT/m} = 2{,}7\times10^{-5}\) m/s (\(3{,}4\times10^{-5}\) m/s en 3D)

1. \(kT = 8{,}617\times10^{-5}\times290 = 0{,}0250\) eV ; \(x = 0{,}004/0{,}0250 = 0{,}160\) ; \(e^{x} = 1{,}174\).
2. (a) Fermions : \(\bar n = 1/(e^{x} + 1) = 1/2{,}174 = 0{,}46\) (juste sous 1/2, comme attendu un peu au-dessus de \(\mu\)).
3. (b) Bosons : \(\bar n = 1/(e^{x} - 1) = 1/0{,}174 = 5{,}8\). Le classique donnerait \(e^{-x} = 0{,}85\).

(a) 0,46 | (b) 5,8

1. \(x = \beta(\varepsilon - \mu)\) ; \(Z = \sum_{n=0}^{2} e^{-nx} = 1 + e^{-x} + e^{-2x}\).
2. \(\bar n = -\dfrac{\partial\ln Z}{\partial x} = \dfrac{e^{-x} + 2e^{-2x}}{1 + e^{-x} + e^{-2x}}\). En multipliant haut et bas par \(e^{2x}\) : \(\bar n = \dfrac{e^{x} + 2}{e^{2x} + e^{x} + 1}\), forme donnée par le manuel.
3. Contrôles : \(x \to +\infty\) donne \(\bar n \to e^{-x}\) (limite classique) ; \(x \to -\infty\) donne \(\bar n \to 2\) (état saturé) ; à \(x = 0\), \(\bar n = 1\).

\(\bar n = (e^{x} + 2)/(e^{2x} + e^{x} + 1)\), \(x = \beta(\varepsilon - \mu)\)

1. (a) \(N/V = p/kT = 1{,}013\times10^{5}/(1{,}381\times10^{-23}\times293) = 2{,}5\times10^{25}\) m⁻³, \(r = (V/N)^{1/3} = 3{,}4\times10^{-9}\) m ; \(p = \sqrt{3mkT} = \sqrt{3\times4{,}67\times10^{-26}\times1{,}381\times10^{-23}\times293} = 2{,}38\times10^{-23}\) kg m/s ; \(rp/h = 3{,}4\times10^{-9}\times2{,}38\times10^{-23}/6{,}626\times10^{-34} = 120\). Classique sans hésitation.
2. (b) \(N/V = 8900/(64\times1{,}66\times10^{-27}) = 8{,}4\times10^{28}\) m⁻³, \(r = 2{,}3\times10^{-10}\) m ; \(p = \sqrt{3\times9{,}11\times10^{-31}\times1{,}381\times10^{-23}\times298} = 1{,}06\times10^{-25}\) kg m/s ; \(rp/h = 0{,}037\). Très inférieur à 1 : gaz d'électrons dégénéré, statistique de Fermi-Dirac obligatoire (cours 9).

(a) \(rp/h \approx 120\), classique | (b) \(rp/h \approx 0{,}04\), quantique

1. (a) \(dS = (dE + p\,dV - \mu\,dN)/T\) pour le réservoir, qui perd \(\Delta E\), \(\Delta V\), \(\Delta N\) : \(S_R = S_0 - (\Delta E + p\Delta V - \mu\Delta N)/T\).
2. (b) \(\Omega_R = e^{S_R/k}\).
3. (c) \(P \propto \Omega_R\) : \(P = C\exp[-(\Delta E + p\Delta V - \mu\Delta N)/kT]\), \(C\) contenant \(e^{S_0/k}\) et la normalisation.

(a) \(S_0 - (\Delta E + p\Delta V - \mu\Delta N)/T\) | (b) \(e^{S_R/k}\) | (c) \(Ce^{-(\Delta E + p\Delta V - \mu\Delta N)/kT}\)

1. \(V_H = \tfrac{4}{3}\pi(0{,}53\times10^{-10})^3 = 6{,}2\times10^{-31}\) m³. Passer de l'atome au neutron coûte \(\Delta E = 0{,}84\) MeV mais rend \(V_H\) au réservoir : \(P_{neutron}/P_{atome} = e^{-(\Delta E - pV_H)/kT}\).
2. L'état neutron devient le plus probable quand \(pV_H \gt \Delta E\) : \(p \gt \Delta E/V_H = 0{,}84\times10^{6}\times1{,}602\times10^{-19}/6{,}2\times10^{-31} = 2{,}2\times10^{17}\) Pa.
3. Le corrigé du professeur prend un critère plus doux (\(pV_H\) de l'ordre de \(\Delta E/10\)) et obtient \(2{,}2\times10^{16}\) Pa. Dans les deux cas, c'est \(10^{11}\) à \(10^{12}\) fois la pression atmosphérique (errata).

\(p \gtrsim \Delta E/V_H \approx 2\times10^{17}\) Pa (corrigé du professeur : \(2\times10^{16}\) Pa avec un critère au dixième)

1. (a) \(\Delta E = 10{,}2\) eV. \(\Delta V = (4^3 - 1)V_H = 63\times6{,}2\times10^{-31} = 3{,}9\times10^{-29}\) m³ ; \(p\Delta V = 1{,}013\times10^{5}\times3{,}9\times10^{-29} = 4{,}0\times10^{-24}\) J \(= 2{,}5\times10^{-5}\) eV. Négligeable : \(4\times10^{5}\) fois plus petit que \(\Delta E\).
2. (b) \(p = \Delta E/\Delta V = 10{,}2\times1{,}602\times10^{-19}/3{,}9\times10^{-29} = 4{,}2\times10^{10}\) Pa \(= 4{,}1\times10^{5}\) atm.

(a) 10,2 eV et \(2{,}5\times10^{-5}\) eV | (b) \(4{,}2\times10^{10}\) Pa \(\approx 4\times10^{5}\) atm

1. \(\varepsilon - \mu = 0{,}04\) eV ; \(kT = 0{,}02499\) eV ; \(x = 1{,}60\) ; \(e^{-x} = 0{,}202\).
2. (a) \(C = 1/(1 + e^{-x}) = 0{,}832\). (b) \(P_0 = C = 0{,}832\). (c) \(P_1 = Ce^{-x} = 0{,}168\).
3. Comparaison avec l'ex. 9 (même état, bosons) : \(C = 1 - e^{-x} = 0{,}798\), \(P_0 = 0{,}798\), \(P_1 = 0{,}161\), et une probabilité non nulle d'en avoir 2, 3, etc.

(a) 0,832 | (b) 0,832 | (c) 0,168 (corrigé du professeur identique)

1. \(P_0/P_1 = e^{\beta(\varepsilon - \mu)}\), indépendamment de \(C\) et du type de particule.
2. \(\varepsilon - \mu = 0{,}2\) eV, \(kT = 0{,}0862\) eV, \(x = 2{,}32\) : \(P_0/P_1 = e^{2{,}32} = 10{,}2\).

10,2 fois

1. Température d'excitation \(T_e = \Delta\varepsilon/k = 0{,}03/8{,}617\times10^{-5} = 348\) K.
2. Pour \(T \ll 348\) K le rapport \(P_1/P_0 = e^{-T_e/T}\) devient petit (à 100 K : \(e^{-3{,}5} = 0{,}03\)) ; à 348 K il vaut déjà \(e^{-1} = 0{,}37\).

\(T_e \approx 350\) K

1. \(\varepsilon_1 - \varepsilon_2 = \tfrac{1}{2}mv^2 = 0{,}5\times5\times10^{-26}\times400^2 = 4{,}0\times10^{-21}\) J \(= 0{,}0250\) eV.
2. (a) 290 K : \(kT = 0{,}0250\) eV, \(P_1/P_2 = e^{-1{,}00} = 0{,}37\). (b) 233 K : \(kT = 0{,}0201\) eV, \(P_1/P_2 = e^{-1{,}24} = 0{,}29\).
3. Il s'agit de deux états précis (une vitesse donnée) et non de deux vitesses : la distribution des vitesses, qui compte les états, est l'objet du chapitre 16.

(a) 0,37 | (b) 0,29

1. \(kT = 0{,}0431\) eV, \(\Delta\varepsilon = 0{,}1\) eV, \(e^{-\beta\Delta\varepsilon} = e^{-2{,}32} = 0{,}0982\).
2. (a) \(P_0 = 1/(1 + 3\times0{,}0982) = 0{,}772\). (b) \(P_{exc} = 0{,}772\times0{,}0982 = 0{,}076\). (c) \(3\times0{,}076 = 0{,}228 = 1 - P_0\).

(a) 0,772 | (b) 0,076 | (c) 0,228

1. (a) 3. (b) \(\tfrac{3}{2}kT = 1{,}5\times1{,}381\times10^{-23}\times293 = 6{,}1\times10^{-21}\) J \(= 0{,}038\) eV.
2. (c) \(v_{rms} = \sqrt{3kT/m} = \sqrt{1{,}21\times10^{-20}/4{,}7\times10^{-26}} = 508\) m/s. (d) \(\sqrt{1{,}21\times10^{-20}/3{,}3\times10^{-27}} = 1920\) m/s : à même température, même énergie, donc la molécule 14 fois plus légère va \(\sqrt{14} = 3{,}8\) fois plus vite.

(a) 3 | (b) \(6{,}1\times10^{-21}\) J | (c) 508 m/s | (d) 1920 m/s

1. \(3kT = 3\times1{,}381\times10^{-23}\times10^{7} = 4{,}14\times10^{-16}\) J.
2. (a) \(v_{rms} = \sqrt{4{,}14\times10^{-16}/1{,}7\times10^{-27}} = 4{,}9\times10^{5}\) m/s. (b) \(\sqrt{4{,}14\times10^{-16}/9{,}1\times10^{-31}} = 2{,}1\times10^{7}\) m/s, soit 7 % de la vitesse de la lumière : la formule classique commence à peine à être limite pour l'électron.

(a) \(4{,}9\times10^{5}\) m/s | (b) \(2{,}1\times10^{7}\) m/s

1. \(kT = 0{,}02542\) eV ; \(\bar n = 1/(e^{x} + 1)\) avec \(x = (\varepsilon - \mu)/kT = \mp0{,}393\) ou \(\mp3{,}93\).
2. (a) \(x = -0{,}393\) : \(1/(0{,}675 + 1) = 0{,}597\). (b) \(x = +0{,}393\) : \(1/(1{,}482 + 1) = 0{,}403\). (c) \(x = -3{,}93\) : \(1/(0{,}0196 + 1) = 0{,}981\). (d) \(x = +3{,}93\) : \(1/(51{,}1 + 1) = 0{,}019\).
3. Symétrie : \(\bar n(\mu - \delta) + \bar n(\mu + \delta) = 1\). Le corrigé manuscrit du professeur donne ces quatre valeurs sous le numéro 2, qui concerne en fait des bosons (errata).

(a) 0,597 | (b) 0,403 | (c) 0,981 | (d) 0,019

1. \(\dfrac{\bar n_B}{\bar n_F} = \dfrac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}\), \(kT = 0{,}02585\) eV.
2. (a) \(x = 0{,}0774\) : 25,9. (b) \(x = 0{,}774\) : 2,71. (c) \(x = 7{,}74\) : 1,0009. (d) \(x = 77{,}4\) : 1,000.
3. Dès que \(\varepsilon - \mu\) dépasse quelques \(kT\), les deux statistiques (et la classique) coïncident.

(a) 25,9 | (b) 2,71 | (c) 1,001 | (d) 1,000

1. \(\bar n = 1/(e^{-\beta\mu} - 1) = 0{,}001 \Rightarrow e^{-\beta\mu} = 1 + 1/\bar n = 1001\).
2. \(\mu = -kT\ln 1001 = -0{,}02499\times6{,}909 = -0{,}173\) eV. Occupation faible, donc \(\mu\) très négatif : on est dans le régime classique, où \(\bar n \approx e^{\beta\mu}\) donne presque la même chose.

\(\mu = -0{,}173\) eV

1. (a) \(e^{-x} = \tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{e^{x} - 1} \Rightarrow 2(e^{x} - 1)e^{-x} = 1 \Rightarrow 2 - 2e^{-x} = 1 \Rightarrow e^{-x} = \tfrac{1}{2}\), \(x = \ln 2 = 0{,}693\).
2. (b) \(\dfrac{\bar n_{cl}}{\bar n_F} = e^{-x}(e^{x} + 1) = 1 + e^{-x} = 1{,}5\).

(a) \(\ln 2 = 0{,}693\) | (b) 1,5

1. (a) Deux états (face, pile) pour chaque pièce : \(2^3 = 8\). (b) Correction classique \(8/3! = 4/3\) (non entier : la correction n'est qu'approximative). (c) FFF et PPP : \(2/8 = 1/4\).
2. (d) Avec des pièces identiques, seul le nombre de faces compte : 0, 1, 2 ou 3, soit 4 configurations (c'est \(C_{3+2-1}^{\,3} = 4\), le comptage « bosons »). (e) \(2/4 = 1/2\).
3. Le comptage classique sous-estime les arrangements à occupation multiple (trois pièces dans le « même état »), exactement comme pour les bosons.

(a) 8 | (b) 4/3 | (c) 1/4 | (d) 4 | (e) 1/2

1. (a) Distinguables : \(4^2 = 16\) arrangements, dont \(4\times3 = 12\) simples et 4 doubles.
2. (b) Classique corrigé \(/2!\) : \(s = 6\), \(d = 2\).
3. (c) Bosons : \(s = C_4^{\,2} = 6\) (deux états distincts occupés), \(d = 4\) (les deux dans le même état) ; total \(C_{5}^{\,2} = 10\).
4. (d) Fermions : \(s = 6\), \(d = 0\).

(a) 12 et 4 | (b) 6 et 2 | (c) 6 et 4 | (d) 6 et 0

1. (a) \(N/V = 8900/(64\times1{,}66\times10^{-27}) = 8{,}4\times10^{28}\) m⁻³, soit \(1{,}2\times10^{-29}\) m³ par électron. (b) \(r = (1{,}2\times10^{-29})^{1/3} = 2{,}3\times10^{-10}\) m.
2. (c) \(p = \sqrt{3m_ekT} = 1{,}06\times10^{-25}\) kg m/s à 298 K ; \(rp/h = 0{,}037 \ll 1\) : non, les électrons sont dégénérés. (d) \(p\) croît comme \(\sqrt{T}\) : \(rp/h = 0{,}037\times\sqrt{10\,000/298} = 0{,}21\), toujours non.
3. (e) Atomes de cuivre, \(m = 1{,}06\times10^{-25}\) kg (116 000 fois l'électron) : \(p = 3{,}6\times10^{-23}\) kg m/s et \(rp/h = 12 \gg 1\) : oui, les atomes se traitent classiquement, ce qui est cohérent avec Dulong et Petit. Le corrigé du professeur répond non en invoquant les atomes fixés dans le réseau ; le critère du chapitre dit le contraire (errata).

(a) \(1{,}2\times10^{-29}\) m³ | (b) \(2{,}3\times10^{-10}\) m | (c) non (0,04) | (d) non (0,2) | (e) oui (12)

1. \(m = 18\times1{,}66\times10^{-27} = 3{,}0\times10^{-26}\) kg ; \(p = \sqrt{3mkT} = \sqrt{3\times3{,}0\times10^{-26}\times1{,}381\times10^{-23}\times295} = 1{,}9\times10^{-23}\) kg m/s.
2. \(rp/h = 3\times10^{-10}\times1{,}9\times10^{-23}/6{,}626\times10^{-34} = 8{,}7 \approx 9\) : oui, de justesse mais oui. Avec 0,3 µm on trouverait 9000, ce qui ne correspond pas à la réponse du manuel (9) : la donnée est bien 0,3 nm.

Oui, \(rp/h \approx 9\)