Intra 2021 avec corrigé

a) Facteur d'augmentation de \(\Omega\).

1. \(T = 20\ ^\circ\text{C} = 293\ \text{K}\). Le système est maintenu à \(T\) : la chaleur reçue à température constante donne \(\Delta S = Q/T = 15/293 = 5{,}12\times10^{-2}\ \text{J/K}\).
2. \(S = k\ln\Omega\), donc \(\Delta S = k\ln(\Omega_f/\Omega_i)\) et \(\ln(\Omega_f/\Omega_i) = \Delta S/k = 5{,}12\times10^{-2}/1{,}381\times10^{-23} = 3{,}71\times10^{21}\).
3. Facteur : \(\Omega_f/\Omega_i = e^{3{,}71\times10^{21}} = 10^{\,0{,}4343\times3{,}71\times10^{21}} = 10^{\,1{,}61\times10^{21}}\).

Même résultat avec la définition de la température du cours 3 : \(1/T = \partial S/\partial E = k\,\partial\ln\Omega/\partial E\), donc \(\Delta\ln\Omega = \Delta E/(kT)\) directement.

a) \(\Omega_f/\Omega_i = 10^{1{,}6\times10^{21}}\) (soit \(e^{3{,}7\times10^{21}}\))

b) Augmentation d'entropie.

1. \(\Delta S = k\ln(\Omega_f/\Omega_i) = k\ln\!\left(10^{1024}\right) = 1024\,k\ln 10\).
2. \(\Delta S = 1024\times1{,}381\times10^{-23}\times2{,}303 = 3{,}26\times10^{-20}\ \text{J/K}\).

L'énergie ajoutée (\(10^{-6}\) J) ne sert pas pour \(\Delta S\). Elle donnerait \(T = \Delta E/\Delta S \approx 3\times10^{13}\) K : les données sont fictives, ne pas se laisser déstabiliser.

b) \(\Delta S = 3{,}3\times10^{-20}\) J/K

c) Chauffage du bois.

1. La température varie : \(dS = dQ/T\) avec \(dQ = mc\,dT\), donc \(\Delta S = mc\ln(T_f/T_i)\).
2. \(mc = 0{,}100\times1800 = 180\ \text{J/K}\) ; \(T_i = 293\ \text{K}\), \(T_f = 353\ \text{K}\) ; \(\ln(353/293) = 0{,}186\).
3. \(\Delta S = 180\times0{,}186 = 33{,}5\ \text{J/K}\).

Piège : \(\Delta S = Q/T\) avec une seule température est faux ici puisque \(T\) change (\(Q = mc\,\Delta T = 10{,}8\) kJ). L'intégrale est attendue pour le point de raisonnement.

c) \(\Delta S = 33{,}5\) J/K

1. Nombre de pas en 4 s : \(n = 10^{12}\ \text{s}^{-1}\times4\ \text{s} = 4\times10^{12}\).
2. a) Le déplacement moyen total est la somme des déplacements moyens de chaque pas : \(\overline{S_n} = n\,\bar s\), donc \(\bar s = \overline{S_n}/n = 10^{-3}/(4\times10^{12}) = 2{,}5\times10^{-16}\ \text{m}\).
3. b) Les pas sont indépendants : les variances s'ajoutent, \(\sigma_n^2 = n\,\sigma_s^2\), donc \(\sigma_s = \sigma_n/\sqrt{n} = 10^{-4}/\sqrt{4\times10^{12}} = 10^{-4}/(2\times10^{6}) = 5\times10^{-11}\ \text{m}\).
4. c) Après 100 s, \(n' = 10^{14}\) pas : distance moyenne \(n'\bar s = 10^{14}\times2{,}5\times10^{-16} = 2{,}5\times10^{-2}\ \text{m} = 25\ \text{mm}\) ; écart type \(\sqrt{n'}\,\sigma_s = 10^{7}\times5\times10^{-11} = 5\times10^{-4}\ \text{m} = 0{,}5\ \text{mm}\).

Vérification sans passer par les pas : le temps est multiplié par 25, donc la moyenne par 25 (1 mm → 25 mm) et l'écart type par \(\sqrt{25} = 5\) (100 µm → 500 µm). Le déplacement moyen par pas (\(2{,}5\times10^{-16}\) m) est minuscule devant son écart type (\(5\times10^{-11}\) m) : la dérive est un tout petit biais répété \(10^{12}\) fois par seconde.

a) \(\bar s = 2{,}5\times10^{-16}\) m | b) \(\sigma_s = 5\times10^{-11}\) m | c) 25 mm et 0,5 mm

a) Diagramme p-V. Les deux courbes descendent quand \(V\) augmente, mais l'adiabatique est plus raide : pour l'isotherme \(p = C/V\) donne \(dp/dV = -p/V\), pour l'adiabatique \(p = C'/V^{\gamma}\) donne \(dp/dV = -\gamma p/V\), soit une pente \(\gamma = 1{,}4\) fois plus forte au même point. Au point 2 l'adiabatique arrive donc plus « à pic » que l'isotherme qui en repart, et la courbe 1 → 2 reste sous l'isotherme qui passe par 1 (le gaz se refroidit en se détendant sans recevoir de chaleur).

b) Travail de la détente adiabatique.

1. \(\nu = 5\) : \(\gamma = (\nu+2)/\nu = 7/5\). Adiabatique : \(pV^{\gamma} = p_1V_1^{\gamma}\), donc \(p_2 = p_1(V_1/V_2)^{7/5}\).
2. \(W = \displaystyle\int_{V_1}^{V_2} p\,dV = p_1V_1^{\gamma}\int_{V_1}^{V_2}V^{-\gamma}\,dV = p_1V_1^{\gamma}\left[\frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma}\right]_{V_1}^{V_2} = \frac{p_1V_1 - p_2V_2}{\gamma - 1}\).
3. Avec \(p_2V_2 = p_1V_1(V_1/V_2)^{\gamma-1}\) et \(1/(\gamma-1) = 5/2\) : \(\displaystyle W = \frac{5}{2}\,p_1V_1\left[1 - \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{2/5}\right]\).
4. Vérification par le premier principe : \(Q = 0\) donc \(W = -\Delta E\) avec \(E = \tfrac{\nu}{2}NkT = \tfrac{5}{2}pV\), soit \(W = \tfrac{5}{2}(p_1V_1 - p_2V_2)\), la même expression. \(W \gt 0\) puisque \(V_2 \gt V_1\) : le gaz fournit du travail.

b) \(W = \tfrac{5}{2}\,p_1V_1\left[1 - (V_1/V_2)^{2/5}\right]\) (\(V_3\) n'intervient pas)

c) Pression finale.

1. Isotherme : \(pV = \text{cste}\), donc \(p_3V_3 = p_2V_2\).
2. \(p_3 = p_2\dfrac{V_2}{V_3} = p_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{7/5}\dfrac{V_2}{V_3} = p_1\,\dfrac{V_1^{7/5}}{V_2^{2/5}\,V_3}\).
3. Contrôle des dimensions : \(V^{7/5}/(V^{2/5}\cdot V)\) est sans dimension, \(p_3\) a bien la dimension de \(p_1\). Et si \(V_3 = V_2\) on retrouve \(p_2\).

c) \(p_3 = p_1\,V_1^{7/5}\,V_2^{-2/5}\,V_3^{-1}\)

a) Une seule section.

1. « À la fois dans le tiers droit et dans la moitié inférieure » désigne la section bas-droite, soit \(1/6\) du volume. Chaque molécule s'y trouve avec la probabilité \(p = 1/6\), indépendamment des autres.
2. Le nombre \(n\) de molécules dans cette section suit la binomiale \(P_N(n) = C_N^n\,p^n q^{N-n}\) avec \(N = 100\), \(p = 1/6\), \(q = 5/6\).
3. \(P_{100}(20) = C_{100}^{20}\,(1/6)^{20}(5/6)^{80}\). Par les logarithmes : \(\log_{10}C_{100}^{20} = \log_{10}100! - \log_{10}20! - \log_{10}80! = 157{,}97 - 18{,}39 - 118{,}86 = 20{,}73\) ; \(20\log_{10}(1/6) = -15{,}56\) ; \(80\log_{10}(5/6) = -6{,}33\). Somme : \(-1{,}17\), donc \(P = 10^{-1{,}17} = 6{,}8\times10^{-2}\).
4. Vérification par l'approximation gaussienne (acceptée pour \(N = 100\)) : \(\bar n = Np = 16{,}7\), \(\sigma = \sqrt{Npq} = 3{,}73\), \(P(20) \approx \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(20-16{,}7)^2/2\sigma^2} = 0{,}107\times0{,}672 = 7{,}2\times10^{-2}\). Même ordre que la valeur exacte.

a) \(P \approx 0{,}068\) (6,8 %), gaussienne : 0,072

b) Deux comptages sur toute la pièce.

1. Soit \(X\) le nombre de molécules dans le tiers droit (\(p = 1/3\)) et \(Y\) le nombre dans la moitié inférieure (\(p = 1/2\)). Pour chaque molécule, la colonne (gauche, centre, droite) et la rangée (haut, bas) sont tirées indépendamment puisque les six sections ont le même volume ; \(X\) ne dépend que des colonnes et \(Y\) que des rangées, donc \(X\) et \(Y\) sont indépendants et \(P = P(X = 20)\,P(Y = 20)\).
2. \(P(X = 20) = C_{100}^{20}(1/3)^{20}(2/3)^{80}\) : \(\log_{10} = 20{,}73 - 9{,}54 - 14{,}09 = -2{,}90\), soit \(1{,}26\times10^{-3}\).
3. \(P(Y = 20) = C_{100}^{20}(1/2)^{100}\) : \(\log_{10} = 20{,}73 - 30{,}10 = -9{,}37\), soit \(4{,}2\times10^{-10}\).
4. \(P = 1{,}26\times10^{-3}\times4{,}2\times10^{-10} = 5{,}3\times10^{-13}\).
5. Gaussienne : \(X\) : \(\bar n = 33{,}3\), \(\sigma = 4{,}71\), \(P \approx 1{,}6\times10^{-3}\) ; \(Y\) : \(\bar n = 50\), \(\sigma = 5\), 20 est à \(6\sigma\) : \(P \approx 1{,}2\times10^{-9}\) ; produit \(\approx 1{,}9\times10^{-12}\). Loin dans les queues la gaussienne surestime d'un facteur 3 à 4 : donner l'ordre de grandeur \(10^{-12}\) à \(10^{-13}\) et dire pourquoi.

Différence avec (a) : ici 20 molécules dans le tiers droit peuvent être n'importe où en hauteur, et les 20 de la moitié inférieure n'importe où en largeur ; les deux groupes peuvent se recouvrir partiellement. Il ne s'agit pas de 20 molécules dans la section bas-droite.

b) \(P = P(X{=}20)\,P(Y{=}20) \approx 5\times10^{-13}\) (gaussienne : \(2\times10^{-12}\))